Номер 660, страница 224 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

660. С помощью графика функции $y = 3^x$ найти приближённое значение:

1) $\sqrt{3}$;

2) $3^{\frac{2}{3}};

3) $\frac{1}{\sqrt{3}};

4) $3^{-1,5}$.

Для нахождения приближенных значений выражений с помощью графика функции $y = 3^x$, необходимо каждое выражение представить в виде степени $3^k$ и найти на графике значение $y$ (ординату), соответствующее значению абсциссы $x=k$.

Общий алгоритм:

1. На оси абсцисс (Ox) найти точку, соответствующую показателю степени $k$.
2. Из этой точки провести вертикальную линию (перпендикуляр) до пересечения с графиком функции $y=3^x$.
3. Из точки пересечения провести горизонтальную линию до пересечения с осью ординат (Oy).
4. Значение на оси Oy в точке пересечения и будет искомым приближенным значением.

Применим этот метод к каждому случаю.

1) $\sqrt{3}$;

Представим выражение $\sqrt{3}$ как степень с основанием 3: $\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$. Следовательно, нам нужно найти значение функции $y = 3^x$ при $x = \frac{1}{2} = 0.5$.
На оси абсцисс находим точку $x=0.5$. Проведя от неё вертикальную линию к графику, а затем горизонтальную к оси ординат, мы определим соответствующее значение $y$. Это значение будет находиться между $y(0)=3^0=1$ и $y(1)=3^1=3$. По графику можно определить, что оно составляет приблизительно 1.7.
Ответ: $\approx 1.7$.

2) $3^{\frac{2}{3}}$;

В этом случае показатель степени $x = \frac{2}{3}$. Для удобства работы с графиком представим $x$ в виде десятичной дроби: $x = \frac{2}{3} \approx 0.67$.
На оси абсцисс находим точку $x \approx 0.67$. Она расположена между $x=0.5$ и $x=1$. Проведя соответствующие линии, как описано в алгоритме, находим значение $y$ на оси ординат. Оно будет больше $3^{0.5} \approx 1.7$ и меньше $3^1=3$. Приближенное значение по графику составляет около 2.1.
Ответ: $\approx 2.1$.

3) $\frac{1}{\sqrt{3}}$;

Представим выражение как степень с основанием 3: $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{3^{1/2}} = 3^{-\frac{1}{2}}$. Таким образом, искомое значение — это значение функции $y=3^x$ при $x = -0.5$.
На оси абсцисс находим точку $x=-0.5$. Она находится между $x=-1$ и $x=0$. Соответствующее значение $y$ будет находиться между $y(-1)=3^{-1}=\frac{1}{3} \approx 0.33$ и $y(0)=3^0=1$. По графику определяем, что значение примерно равно 0.6.
Ответ: $\approx 0.6$.

4) $3^{-1.5}$.

Здесь показатель степени $x = -1.5$ или $x = -\frac{3}{2}$.
На оси абсцисс находим точку $x=-1.5$. Она находится между $x=-2$ и $x=-1$. Соответствующее значение $y$ будет находиться между $y(-2)=3^{-2}=\frac{1}{9} \approx 0.11$ и $y(-1)=3^{-1}=\frac{1}{3} \approx 0.33$. По графику определяем, что значение примерно равно 0.2.
Ответ: $\approx 0.2$.