Номер 17, страница 217 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

17. Верно ли утверждение: $(f(x) = g(x)) \iff ((f(x))^n = (g(x))^n)$, где $n \in N$?

Данное утверждение представляет собой равносильность (эквивалентность), которая верна только в том случае, когда верны обе импликации (следствия) в обе стороны. Проверим каждую из них.

1. Импликация $f(x)=g(x) \implies (f(x))^n = (g(x))^n$.
Это следствие верно для любого натурального числа $n \in \mathbb{N}$. Если два числа равны, то при возведении их в одну и ту же натуральную степень результаты также будут равны. Это фундаментальное свойство операции возведения в степень.

2. Импликация $(f(x))^n = (g(x))^n \implies f(x)=g(x)$.
Истинность этого следствия зависит от четности показателя степени $n$.

Если $n$ — нечетное натуральное число (например, $1, 3, 5, \dots$), то функция $y=t^n$ является строго монотонной и взаимно-однозначной. Это значит, что из равенства $a^n = b^n$ при нечетном $n$ однозначно следует, что $a=b$. Таким образом, для нечетных $n$ эта импликация верна.

Если $n$ — четное натуральное число (например, $2, 4, 6, \dots$), то импликация в общем случае неверна. Из равенства $a^n=b^n$ при четном $n$ следует, что $|a|=|b|$, что в свою очередь означает либо $a=b$, либо $a=-b$. Так как существует вторая возможность, нельзя однозначно утверждать, что $f(x)=g(x)$.

Приведем контрпример для четного $n$. Пусть $n=2$. Возьмем функции $f(x)=x$ и $g(x)=-x$.
Тогда $(f(x))^2 = x^2$ и $(g(x))^2 = (-x)^2 = x^2$.
Равенство $(f(x))^2 = (g(x))^2$ выполняется для любого значения $x$.
Однако равенство $f(x) = g(x)$ (то есть $x=-x$) выполняется только при $x=0$. Для всех $x \neq 0$ оно неверно.

Поскольку исходное утверждение о равносильности должно быть верным для всех натуральных $n$, а мы показали, что оно не выполняется для любого четного $n$, то общее утверждение является неверным.

Ответ: Утверждение неверно. Равносильность $(f(x)=g(x)) \iff ((f(x))^n = (g(x))^n)$ справедлива только для нечетных натуральных значений $n$.