Номер 11, страница 217 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

11. Какие уравнения называют равносильными?

Равносильными (или эквивалентными) называют уравнения, которые имеют одинаковые множества решений (корней). Это означает, что каждый корень первого уравнения является корнем второго, и наоборот, каждый корень второго является корнем первого.

Уравнения, не имеющие корней, также считаются равносильными, так как их множество решений одинаково — оно является пустым множеством ($ \emptyset $).

Для обозначения равносильности уравнений используется знак $ \Leftrightarrow $. Если уравнения $f(x) = g(x)$ и $p(x) = h(x)$ равносильны, это записывают так: $f(x) = g(x) \Leftrightarrow p(x) = h(x)$.

Примеры равносильных уравнений

1. Уравнения $x + 3 = 7$ и $2x = 8$.
Решим первое уравнение: $x = 7 - 3$, откуда $x = 4$. Множество решений: $\{4\}$.
Решим второе уравнение: $x = 8 / 2$, откуда $x = 4$. Множество решений: $\{4\}$.
Так как множества решений совпадают, уравнения равносильны.

2. Уравнения $x^2 + 5 = 0$ и $|x| = -1$.
Первое уравнение не имеет действительных корней, так как $x^2 \ge 0$, а значит $x^2 + 5 > 0$ для любого $x$.
Второе уравнение также не имеет корней, так как модуль числа — величина неотрицательная.
Поскольку оба уравнения не имеют решений, они равносильны.

Пример неравносильных уравнений

Уравнения $x = 5$ и $x^2 = 25$ не являются равносильными.
Первое уравнение имеет единственный корень $x=5$. Его множество решений — $\{5\}$.
Второе уравнение имеет два корня $x=5$ и $x=-5$. Его множество решений — $\{-5, 5\}$.
Множества решений не совпадают, следовательно, уравнения не равносильны.

Решение уравнений, как правило, сводится к последовательной замене исходного уравнения на более простое, но равносильное ему. Это достигается с помощью равносильных преобразований:

• Перенос любого члена уравнения из одной части в другую с противоположным знаком.
• Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же отличное от нуля число или на выражение, которое не обращается в нуль ни при каких значениях переменной из области допустимых значений (ОДЗ).
• Применение тождественных преобразований (например, раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых) в левой и правой частях уравнения.

Ответ: Равносильными уравнениями называются уравнения, у которых множества всех их корней полностью совпадают. Уравнения, которые не имеют корней, также являются равносильными.