Номер 4, страница 216 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

4. Перечислить свойства функции $y = x^p$, где $p = 2n - 1, n \in N$. Изобразить схематически график этой функции.

Перечислить свойства функции $y=x^p$, где $p=2n-1, n \in \mathbb{N}$

Анализируемая функция $y = x^p$, где $p = 2n-1$ и $n \in \mathbb{N}$, является степенной функцией с нечетным натуральным показателем степени ($p \in \{1, 3, 5, \dots\}$). Основные свойства этой функции следующие:

• Область определения: Функция определена для всех действительных значений аргумента $x$, так как возведение в любую натуральную степень является операцией, определенной для любого действительного числа.

  $D(y) = (-\infty; +\infty)$ или $D(y) = \mathbb{R}$.

• Область значений: Поскольку показатель степени $p$ нечетный, знак функции $y$ совпадает со знаком аргумента $x$. Функция непрерывна и принимает все действительные значения от $-\infty$ до $+\infty$.

  $E(y) = (-\infty; +\infty)$ или $E(y) = \mathbb{R}$.

• Четность: Функция является нечетной. Проверим: $y(-x) = (-x)^p = -x^p = -y(x)$, так как $p$ — нечетное число. Это означает, что график функции симметричен относительно начала координат.

• Нули функции: Найдем точки пересечения с осью абсцисс, решив уравнение $y=0$:
  $x^p=0 \implies x=0$.
  График пересекает обе оси координат только в одной точке — начале координат $(0,0)$.

• Промежутки знакопостоянства:

  Функция положительна ($y > 0$) при $x^p > 0$, что для нечетного $p$ выполняется при $x > 0$.
  Функция отрицательна ($y < 0$) при $x^p < 0$, что для нечетного $p$ выполняется при $x < 0$.
  Итак, $y>0$ на интервале $(0; +\infty)$ и $y<0$ на интервале $(-\infty; 0)$.

• Монотонность: Найдем первую производную: $y' = (x^p)' = px^{p-1}$.
  Поскольку $p=2n-1 \ge 1$, а показатель степени $p-1 = 2n-2$ является четным неотрицательным числом, то $x^{p-1} \ge 0$ для всех $x$. Так как $p>0$, производная $y' = px^{p-1} \ge 0$. При $p>1$ ($n \ge 2$), производная обращается в ноль только в точке $x=0$. Следовательно, функция является строго возрастающей на всей своей области определения $(-\infty; +\infty)$.

• Точки экстремума: Так как функция строго монотонна на всей области определения, у нее нет точек локального максимума или минимума.

• Выпуклость и точки перегиба: Найдем вторую производную: $y'' = (px^{p-1})' = p(p-1)x^{p-2}$.

  Если $n=1$, то $p=1$, $y=x$. В этом случае $y''=0$, и график является прямой линией, которая не имеет выпуклости.

  Если $n \ge 2$, то $p \ge 3$, и показатель $p-2 = 2n-3$ является нечетным натуральным числом. Знак второй производной $y''$ определяется знаком множителя $x^{p-2}$, то есть знаком $x$.
  При $x < 0$ имеем $y'' < 0$, график функции выпуклый вверх (вогнутый).
  При $x > 0$ имеем $y'' > 0$, график функции выпуклый вниз (выпуклый).
  В точке $x=0$ направление выпуклости меняется, следовательно, точка $(0,0)$ является точкой перегиба.

Ответ: Функция $y=x^{2n-1}$, где $n \in \mathbb{N}$, обладает следующими свойствами: область определения и область значений — все действительные числа; функция нечетная, строго возрастающая на всей числовой прямой; имеет единственный нуль в точке $x=0$; не имеет экстремумов; при $n \ge 2$ (т.е. $p \ge 3$) точка $(0,0)$ является точкой перегиба, причем график выпуклый вверх при $x<0$ и выпуклый вниз при $x>0$.

Изобразить схематически график этой функции

Схематический график функции $y=x^p$ с нечетным натуральным показателем $p$ всегда проходит через точки $(-1, -1)$, $(0, 0)$ и $(1, 1)$. График симметричен относительно начала координат. Для частного случая $p=1$ ($n=1$) графиком является прямая $y=x$. Для всех $p \ge 3$ ($n \ge 2$) график имеет характерную S-образную форму с горизонтальным касанием в точке перегиба $(0,0)$. С увеличением $p$ график становится более плоским вблизи нуля и растет быстрее при $|x|>1$. Ниже представлен типичный вид графика для $p \ge 3$.

Ответ: Схематический график функции для случая $p \ge 3$ представлен на рисунке выше.