Номер 610, страница 206 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

610. 1) $\sqrt{5-x} - \sqrt{5+x} = 2;$

2) $\sqrt{12+x} - \sqrt{1-x} = 1;$

3) $\sqrt{x-2} + \sqrt{x+6} = 0;$

4) $\sqrt{x+7} + \sqrt{x-2} = 9.$

1)
Исходное уравнение: $\sqrt{5-x} - \sqrt{5+x} = 2$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под корнями должны быть неотрицательными:
$\begin{cases} 5-x \ge 0 \\ 5+x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le 5 \\ x \ge -5 \end{cases}$
Следовательно, ОДЗ: $x \in [-5, 5]$.
Перенесем один из корней в правую часть уравнения:
$\sqrt{5-x} = 2 + \sqrt{5+x}$
Обе части уравнения неотрицательны, поэтому можно возвести их в квадрат:
$(\sqrt{5-x})^2 = (2 + \sqrt{5+x})^2$
$5-x = 4 + 4\sqrt{5+x} + 5+x$
$5-x = 9 + x + 4\sqrt{5+x}$
Уединим оставшийся корень:
$-4-2x = 4\sqrt{5+x}$
Разделим обе части на 2:
$-2-x = 2\sqrt{5+x}$
Правая часть уравнения $2\sqrt{5+x}$ неотрицательна, значит, и левая часть должна быть неотрицательной: $-2-x \ge 0$, что означает $x \le -2$.
С учетом ОДЗ, получаем, что возможное решение должно находиться в промежутке $x \in [-5, -2]$.
Снова возведем обе части в квадрат:
$(-2-x)^2 = (2\sqrt{5+x})^2$
$(x+2)^2 = 4(5+x)$
$x^2 + 4x + 4 = 20 + 4x$
$x^2 = 16$
Отсюда получаем два корня: $x_1 = 4$ и $x_2 = -4$.
Проверим найденные корни. Корень $x=4$ не удовлетворяет условию $x \le -2$, поэтому это посторонний корень. Корень $x=-4$ удовлетворяет условию $x \in [-5, -2]$.
Выполним проверку подстановкой $x=-4$ в исходное уравнение:
$\sqrt{5-(-4)} - \sqrt{5+(-4)} = \sqrt{9} - \sqrt{1} = 3-1 = 2$.
Равенство верно.
Ответ: -4.

2)
Исходное уравнение: $\sqrt{12+x} - \sqrt{1-x} = 1$.
ОДЗ: $\begin{cases} 12+x \ge 0 \\ 1-x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -12 \\ x \le 1 \end{cases}$
ОДЗ: $x \in [-12, 1]$.
Перенесем корень: $\sqrt{12+x} = 1 + \sqrt{1-x}$.
Возведем обе неотрицательные части в квадрат:
$12+x = (1+\sqrt{1-x})^2$
$12+x = 1 + 2\sqrt{1-x} + 1-x$
$12+x = 2 - x + 2\sqrt{1-x}$
$10+2x = 2\sqrt{1-x}$
$5+x = \sqrt{1-x}$
Так как правая часть неотрицательна, то $5+x \ge 0$, откуда $x \ge -5$.
С учетом ОДЗ, получаем $x \in [-5, 1]$.
Возводим в квадрат еще раз:
$(5+x)^2 = 1-x$
$x^2 + 10x + 25 = 1 - x$
$x^2 + 11x + 24 = 0$
Решаем квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $x_1 = -3$, $x_2 = -8$.
Проверяем корни. $x=-8$ не принадлежит промежутку $[-5, 1]$, значит, это посторонний корень. $x=-3$ принадлежит промежутку $[-5, 1]$.
Проверка подстановкой $x=-3$ в исходное уравнение:
$\sqrt{12+(-3)} - \sqrt{1-(-3)} = \sqrt{9} - \sqrt{4} = 3-2=1$.
Равенство верно.
Ответ: -3.

3)
Исходное уравнение: $\sqrt{x-2} + \sqrt{x+6} = 0$.
ОДЗ: $\begin{cases} x-2 \ge 0 \\ x+6 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 2 \\ x \ge -6 \end{cases}$
ОДЗ: $x \ge 2$.
Арифметический квадратный корень является неотрицательной величиной. Таким образом, $\sqrt{x-2} \ge 0$ и $\sqrt{x+6} \ge 0$.
Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю только в том случае, если каждое из слагаемых равно нулю.
$\begin{cases} \sqrt{x-2} = 0 \\ \sqrt{x+6} = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x-2=0 \\ x+6=0 \end{cases} \implies \begin{cases} x=2 \\ x=-6 \end{cases}$
Эта система не имеет решений, так как $x$ не может одновременно равняться 2 и -6.
Следовательно, исходное уравнение не имеет корней.
Ответ: корней нет.

4)
Исходное уравнение: $\sqrt{x+7} + \sqrt{x-2} = 9$.
ОДЗ: $\begin{cases} x+7 \ge 0 \\ x-2 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -7 \\ x \ge 2 \end{cases}$
ОДЗ: $x \ge 2$.
Уединим один из корней:
$\sqrt{x+7} = 9 - \sqrt{x-2}$
Правая часть должна быть неотрицательной: $9 - \sqrt{x-2} \ge 0 \implies \sqrt{x-2} \le 9 \implies x-2 \le 81 \implies x \le 83$.
С учетом ОДЗ, $x \in [2, 83]$.
Возведем обе части в квадрат:
$x+7 = (9-\sqrt{x-2})^2$
$x+7 = 81 - 18\sqrt{x-2} + x-2$
$x+7 = 79+x-18\sqrt{x-2}$
$18\sqrt{x-2} = 79 - 7$
$18\sqrt{x-2} = 72$
$\sqrt{x-2} = 4$
Возводим в квадрат:
$x-2 = 16$
$x=18$
Найденный корень $x=18$ удовлетворяет ОДЗ ($18 \ge 2$) и условию $x \in [2, 83]$.
Проверим подстановкой в исходное уравнение:
$\sqrt{18+7} + \sqrt{18-2} = \sqrt{25} + \sqrt{16} = 5+4=9$.
Равенство верно.
Ответ: 18.