Номер 608, страница 206 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

608. 1) $\sqrt{2x - 34} = 1 + \sqrt{x};$

2) $\sqrt{5x} + \sqrt{14 - x} = 8;$

3) $\sqrt{15 + x} + \sqrt{3 + x} = 6;$

4) $\sqrt{3 - 2x} - \sqrt{1 - x} = 1.$

1) $\sqrt{2x-34}=1+\sqrt{x}$

Первым шагом определим область допустимых значений (ОДЗ). Для этого выражения под знаками квадратного корня должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} 2x - 34 \ge 0 \\ x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 2x \ge 34 \\ x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 17 \\ x \ge 0 \end{cases}$

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \ge 17$.

Теперь возведем обе части исходного уравнения в квадрат, чтобы избавиться от одного из корней:

$(\sqrt{2x-34})^2 = (1+\sqrt{x})^2$

$2x - 34 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{x} + (\sqrt{x})^2$

$2x - 34 = 1 + 2\sqrt{x} + x$

Уединим оставшийся радикал в одной части уравнения:

$2x - x - 34 - 1 = 2\sqrt{x}$

$x - 35 = 2\sqrt{x}$

Поскольку правая часть уравнения ($2\sqrt{x}$) неотрицательна, левая часть также должна быть неотрицательной: $x - 35 \ge 0$, что означает $x \ge 35$. Это более сильное ограничение, чем исходное ОДЗ ($x \ge 17$), поэтому мы будем использовать его.

Снова возведем обе части в квадрат:

$(x - 35)^2 = (2\sqrt{x})^2$

$x^2 - 70x + 1225 = 4x$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 70x - 4x + 1225 = 0$

$x^2 - 74x + 1225 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 74, а их произведение – 1225. Подбором находим корни: $x_1 = 25$ и $x_2 = 49$.

Теперь проверим найденные корни на соответствие условию $x \ge 35$.

Корень $x_1 = 25$ не удовлетворяет этому условию ($25 < 35$), следовательно, это посторонний корень.

Корень $x_2 = 49$ удовлетворяет условию ($49 \ge 35$).

Для полной уверенности выполним проверку подстановкой $x=49$ в исходное уравнение:

Левая часть: $\sqrt{2 \cdot 49 - 34} = \sqrt{98 - 34} = \sqrt{64} = 8$.

Правая часть: $1 + \sqrt{49} = 1 + 7 = 8$.

$8=8$. Равенство верно, значит, корень найден правильно.

Ответ: $49$.

2) $\sqrt{5x}+\sqrt{14-x}=8$

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 5x \ge 0 \\ 14 - x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 0 \\ x \le 14 \end{cases}$

Следовательно, ОДЗ: $0 \le x \le 14$.

Уединим один из радикалов. Перенесем $\sqrt{14-x}$ в правую часть:

$\sqrt{5x} = 8 - \sqrt{14-x}$

Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{5x})^2 = (8 - \sqrt{14-x})^2$

$5x = 64 - 16\sqrt{14-x} + (14-x)$

$5x = 78 - x - 16\sqrt{14-x}$

Теперь уединим оставшийся радикал:

$16\sqrt{14-x} = 78 - x - 5x$

$16\sqrt{14-x} = 78 - 6x$

Можно сократить обе части уравнения на 2:

$8\sqrt{14-x} = 39 - 3x$

Левая часть неотрицательна, значит $39 - 3x \ge 0 \implies 3x \le 39 \implies x \le 13$. С учетом ОДЗ получаем новое ограничение: $0 \le x \le 13$.

Возводим в квадрат еще раз:

$(8\sqrt{14-x})^2 = (39 - 3x)^2$

$64(14-x) = 1521 - 2 \cdot 39 \cdot 3x + 9x^2$

$896 - 64x = 1521 - 234x + 9x^2$

Приводим к стандартному виду квадратного уравнения:

$9x^2 - 234x + 64x + 1521 - 896 = 0$

$9x^2 - 170x + 625 = 0$

Решаем через дискриминант:

$D = (-170)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 625 = 28900 - 36 \cdot 625 = 28900 - 22500 = 6400 = 80^2$

$x = \frac{170 \pm \sqrt{6400}}{2 \cdot 9} = \frac{170 \pm 80}{18}$

$x_1 = \frac{170+80}{18} = \frac{250}{18} = \frac{125}{9} = 13\frac{8}{9}$

$x_2 = \frac{170-80}{18} = \frac{90}{18} = 5$

Проверим корни по условию $0 \le x \le 13$.

$x_1 = 13\frac{8}{9}$ не удовлетворяет условию $x \le 13$. Это посторонний корень.

$x_2 = 5$ удовлетворяет условию $0 \le 5 \le 13$.

Проверка подстановкой $x=5$ в исходное уравнение:

$\sqrt{5 \cdot 5} + \sqrt{14 - 5} = \sqrt{25} + \sqrt{9} = 5 + 3 = 8$.

$8=8$. Верно.

Ответ: $5$.

3) $\sqrt{15+x}+\sqrt{3+x}=6$

Определим ОДЗ:

$\begin{cases} 15 + x \ge 0 \\ 3 + x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -15 \\ x \ge -3 \end{cases}$

ОДЗ: $x \ge -3$.

Уединим один из радикалов:

$\sqrt{15+x} = 6 - \sqrt{3+x}$

Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{15+x})^2 = (6 - \sqrt{3+x})^2$

$15+x = 36 - 12\sqrt{3+x} + (3+x)$

$15+x = 39 + x - 12\sqrt{3+x}$

Упростим уравнение, уединив радикал:

$12\sqrt{3+x} = 39 + x - 15 - x$

$12\sqrt{3+x} = 24$

$\sqrt{3+x} = 2$

Возведем обе части в квадрат:

$3+x = 4$

$x = 1$

Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ: $1 \ge -3$. Удовлетворяет.

Проверка подстановкой в исходное уравнение:

$\sqrt{15+1} + \sqrt{3+1} = \sqrt{16} + \sqrt{4} = 4+2=6$.

$6=6$. Верно.

Ответ: $1$.

4) $\sqrt{3-2x}-\sqrt{1-x}=1$

Определим ОДЗ:

$\begin{cases} 3 - 2x \ge 0 \\ 1 - x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 2x \le 3 \\ x \le 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le 1.5 \\ x \le 1 \end{cases}$

ОДЗ: $x \le 1$.

Перенесем радикал с отрицательным знаком в правую часть, чтобы упростить возведение в квадрат:

$\sqrt{3-2x} = 1 + \sqrt{1-x}$

Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{3-2x})^2 = (1 + \sqrt{1-x})^2$

$3-2x = 1 + 2\sqrt{1-x} + (1-x)$

$3-2x = 2 - x + 2\sqrt{1-x}$

Уединим оставшийся радикал:

$3 - 2x - 2 + x = 2\sqrt{1-x}$

$1 - x = 2\sqrt{1-x}$

Возведем обе части в квадрат. Отметим, что $1-x \ge 0$ по ОДЗ.

$(1-x)^2 = (2\sqrt{1-x})^2$

$(1-x)^2 = 4(1-x)$

Перенесем все в одну часть и разложим на множители:

$(1-x)^2 - 4(1-x) = 0$

$(1-x)((1-x) - 4) = 0$

$(1-x)(-x-3) = 0$

Отсюда получаем два возможных корня:

$1-x=0 \implies x_1=1$

$-x-3=0 \implies x_2=-3$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \le 1$).

Проверим оба корня подстановкой в исходное уравнение.

Для $x=1$: $\sqrt{3-2(1)} - \sqrt{1-1} = \sqrt{1} - \sqrt{0} = 1-0 = 1$. Верно.

Для $x=-3$: $\sqrt{3-2(-3)} - \sqrt{1-(-3)} = \sqrt{3+6} - \sqrt{1+3} = \sqrt{9} - \sqrt{4} = 3-2 = 1$. Верно.

Оба корня являются решениями уравнения.

Ответ: $-3; 1$.