Номер 606, страница 206 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

606. Решить систему уравнений:

1) $ \begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 5, \\ x - y = 10; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} \sqrt{x} - \sqrt{y} = 4, \\ x - y = 24; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} \sqrt{x+1} - \sqrt{y-1} = 1, \\ x - y = 3; \end{cases} $

4) $ \begin{cases} x + y = 2, \\ \sqrt{x+2} + \sqrt{3-y} = 3. \end{cases} $

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 5 \\ x - y = 10 \end{cases} $$

Область допустимых значений (ОДЗ) для этой системы определяется условиями $x \ge 0$ и $y \ge 0$.

Второе уравнение $x - y = 10$ можно представить, используя формулу разности квадратов: $x - y = (\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2 = (\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})$.

Подставим в это уравнение значение $\sqrt{x} + \sqrt{y} = 5$ из первого уравнения системы: $10 = (\sqrt{x} - \sqrt{y}) \cdot 5$.

Отсюда находим, что $\sqrt{x} - \sqrt{y} = \frac{10}{5} = 2$.

Теперь мы имеем новую систему линейных уравнений относительно $\sqrt{x}$ и $\sqrt{y}$: $$ \begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 5 \\ \sqrt{x} - \sqrt{y} = 2 \end{cases} $$

Сложим эти два уравнения: $(\sqrt{x} + \sqrt{y}) + (\sqrt{x} - \sqrt{y}) = 5 + 2$, что дает $2\sqrt{x} = 7$, откуда $\sqrt{x} = \frac{7}{2}$. Возведя в квадрат, получаем $x = (\frac{7}{2})^2 = \frac{49}{4}$.

Подставим значение $\sqrt{x} = \frac{7}{2}$ в первое уравнение новой системы: $\frac{7}{2} + \sqrt{y} = 5$, откуда $\sqrt{y} = 5 - \frac{7}{2} = \frac{3}{2}$. Возведя в квадрат, получаем $y = (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$.

Решение $( \frac{49}{4}; \frac{9}{4} )$ удовлетворяет ОДЗ. Выполним проверку, подставив значения в исходную систему:
$\sqrt{\frac{49}{4}} + \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{7}{2} + \frac{3}{2} = \frac{10}{2} = 5$.
$\frac{49}{4} - \frac{9}{4} = \frac{40}{4} = 10$.
Оба уравнения верны.

Ответ: $(\frac{49}{4}; \frac{9}{4})$.

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \sqrt{x} - \sqrt{y} = 4 \\ x - y = 24 \end{cases} $$

ОДЗ: $x \ge 0$, $y \ge 0$.

Используем формулу разности квадратов для второго уравнения: $x - y = (\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})$.

Подставляем известные значения: $24 = 4 \cdot (\sqrt{x} + \sqrt{y})$. Отсюда $\sqrt{x} + \sqrt{y} = \frac{24}{4} = 6$.

Получаем новую систему: $$ \begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 6 \\ \sqrt{x} - \sqrt{y} = 4 \end{cases} $$

Сложив уравнения, находим $2\sqrt{x} = 10 \Rightarrow \sqrt{x} = 5 \Rightarrow x = 25$.

Подставив $\sqrt{x} = 5$ в первое уравнение новой системы, получаем $5 + \sqrt{y} = 6 \Rightarrow \sqrt{y} = 1 \Rightarrow y = 1$.

Проверка: $\sqrt{25} - \sqrt{1} = 5 - 1 = 4$. И $25 - 1 = 24$. Решение верное.

Ответ: $(25; 1)$.

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \sqrt{x+1} - \sqrt{y-1} = 1 \\ x - y = 3 \end{cases} $$

ОДЗ: $x+1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1$ и $y-1 \ge 0 \Rightarrow y \ge 1$.

Преобразуем второе уравнение: $x - y = (x+1) - (y-1) - 2 = 3$, откуда $(x+1) - (y-1) = 5$.

Сделаем замену переменных: $u = \sqrt{x+1}$, $v = \sqrt{y-1}$. При этом $u \ge 0, v \ge 0$. Система принимает вид: $$ \begin{cases} u - v = 1 \\ u^2 - v^2 = 5 \end{cases} $$

Из второго уравнения $u^2 - v^2 = (u-v)(u+v) = 5$. Подставляя $u-v=1$, получаем $1 \cdot (u+v) = 5$, т.е. $u+v=5$.

Решаем систему для $u$ и $v$: $$ \begin{cases} u + v = 5 \\ u - v = 1 \end{cases} $$

Складывая уравнения, получаем $2u=6 \Rightarrow u=3$. Вычитая второе из первого, получаем $2v=4 \Rightarrow v=2$.

Возвращаемся к исходным переменным:
$u = \sqrt{x+1} = 3 \Rightarrow x+1=9 \Rightarrow x=8$.
$v = \sqrt{y-1} = 2 \Rightarrow y-1=4 \Rightarrow y=5$.

Проверка: $\sqrt{8+1} - \sqrt{5-1} = \sqrt{9} - \sqrt{4} = 3-2=1$. И $8-5=3$. Решение верное.

Ответ: $(8; 5)$.

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x + y = 2 \\ \sqrt{x+2} + \sqrt{3-y} = 3 \end{cases} $$

ОДЗ: $x+2 \ge 0 \Rightarrow x \ge -2$ и $3-y \ge 0 \Rightarrow y \le 3$.

Из первого уравнения выразим $y = 2 - x$ и подставим во второе: $\sqrt{x+2} + \sqrt{3-(2-x)} = 3$
$\sqrt{x+2} + \sqrt{x+1} = 3$

Уединим один из радикалов: $\sqrt{x+2} = 3 - \sqrt{x+1}$.

Возведем обе части в квадрат (при условии $3 - \sqrt{x+1} \ge 0$):
$x+2 = 9 - 6\sqrt{x+1} + (x+1)$
$x+2 = 10 + x - 6\sqrt{x+1}$

Упрощаем уравнение: $-8 = -6\sqrt{x+1}$, откуда $\sqrt{x+1} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$.

Возводим в квадрат еще раз: $x+1 = (\frac{4}{3})^2 = \frac{16}{9}$. Отсюда $x = \frac{16}{9} - 1 = \frac{7}{9}$.

Находим $y$: $y = 2 - x = 2 - \frac{7}{9} = \frac{18-7}{9} = \frac{11}{9}$.

Проверим условие возведения в квадрат: $\sqrt{x+1} = \sqrt{\frac{7}{9}+1} = \sqrt{\frac{16}{9}} = \frac{4}{3}$. Тогда $3 - \sqrt{x+1} = 3 - \frac{4}{3} = \frac{5}{3} > 0$, условие выполнено. Решение корректно.

Проверка в исходной системе: $x+y = \frac{7}{9} + \frac{11}{9} = \frac{18}{9} = 2$.
$\sqrt{x+2} + \sqrt{3-y} = \sqrt{\frac{7}{9}+2} + \sqrt{3-\frac{11}{9}} = \sqrt{\frac{25}{9}} + \sqrt{\frac{16}{9}} = \frac{5}{3} + \frac{4}{3} = \frac{9}{3} = 3$.
Решение верное.

Ответ: $(\frac{7}{9}; \frac{11}{9})$.