Номер 600, страница 202 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

600. Доказать, что если функции $f(x)$, $g(x)$ и $\varphi(x)$ определены на множестве $X$ и $\varphi(x) \neq 0$ для всех $x \in X$, то уравнения $f(x)=g(x)$ и $f(x)\varphi(x)=g(x)\varphi(x)$ равносильны.

Два уравнения называются равносильными (или эквивалентными) на некотором множестве, если множества их решений на этом множестве совпадают. Чтобы доказать, что уравнения $f(x) = g(x)$ и $f(x)φ(x) = g(x)φ(x)$ равносильны на множестве $X$, необходимо доказать два взаимно обратных утверждения:
1) любой корень первого уравнения является корнем второго;
2) любой корень второго уравнения является корнем первого.

Доказательство прямого следствия: $f(x) = g(x) \implies f(x)φ(x) = g(x)φ(x)$
Пусть $x_0$ — произвольный корень уравнения $f(x) = g(x)$. Это означает, что $x_0$ принадлежит множеству $X$, и для него выполняется верное числовое равенство: $f(x_0) = g(x_0)$.
По условию, функция $φ(x)$ определена для всех $x \in X$, следовательно, она определена и в точке $x_0$. Мы имеем право умножить обе части верного числового равенства на одно и то же число $φ(x_0)$. Получаем: $f(x_0)φ(x_0) = g(x_0)φ(x_0)$.
Это равенство означает, что $x_0$ является корнем уравнения $f(x)φ(x) = g(x)φ(x)$. Таким образом, любой корень первого уравнения является корнем второго.

Доказательство обратного следствия: $f(x)φ(x) = g(x)φ(x) \implies f(x) = g(x)$
Пусть $x_0$ — произвольный корень уравнения $f(x)φ(x) = g(x)φ(x)$. Это означает, что $x_0 \in X$ и для него выполняется равенство: $f(x_0)φ(x_0) = g(x_0)φ(x_0)$.
Перенесем все члены уравнения в левую часть: $f(x_0)φ(x_0) - g(x_0)φ(x_0) = 0$.
Вынесем общий множитель $φ(x_0)$ за скобки: $(f(x_0) - g(x_0)) \cdot φ(x_0) = 0$.
По условию задачи, $φ(x) \neq 0$ для всех $x \in X$. Следовательно, и для $x_0 \in X$ значение $φ(x_0) \neq 0$.
Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Поскольку мы знаем, что множитель $φ(x_0)$ не равен нулю, то для выполнения равенства необходимо, чтобы первый множитель был равен нулю: $f(x_0) - g(x_0) = 0$.
Отсюда следует, что $f(x_0) = g(x_0)$.
Это означает, что $x_0$ является корнем уравнения $f(x) = g(x)$. Таким образом, любой корень второго уравнения является корнем первого.

Поскольку мы доказали, что множества решений обоих уравнений совпадают (каждый корень первого является корнем второго, и наоборот), то уравнения являются равносильными.

Ответ: Утверждение доказано. Уравнения $f(x) = g(x)$ и $f(x)φ(x) = g(x)φ(x)$ равносильны на множестве $X$ при заданных условиях.