Номер 593, страница 201 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

593. Решить неравенство:

1) $\frac{x+6}{2+x^2} < 3$;

2) $\frac{x-2}{5-x} > 1$.

1)

Дано неравенство: $\frac{x+6}{2+x^2} < 3$.

Сначала обратим внимание на знаменатель дроби: $2+x^2$. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного числа $x$, то $2+x^2 \ge 2$. Это означает, что знаменатель всегда положителен.

Так как знаменатель всегда больше нуля, мы можем умножить обе части неравенства на $2+x^2$, не меняя знака неравенства:

$x+6 < 3(2+x^2)$

Раскроем скобки и перенесем все члены в правую часть:

$x+6 < 6 + 3x^2$

$0 < 3x^2 - x$

$3x^2 - x > 0$

Теперь решим это квадратное неравенство. Вынесем $x$ за скобки:

$x(3x-1) > 0$

Найдем корни соответствующего уравнения $x(3x-1) = 0$. Корни равны $x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{1}{3}$.

Эти корни разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty, 0)$, $(0, \frac{1}{3})$ и $(\frac{1}{3}, +\infty)$. Выражение $x(3x-1)$ представляет собой параболу с ветвями вверх, поэтому оно будет положительно вне интервала между корнями.

Проверим знаки на интервалах:
- При $x < 0$ (например, $x=-1$): $(-1)(3(-1)-1) = (-1)(-4) = 4 > 0$. Интервал подходит.
- При $0 < x < \frac{1}{3}$ (например, $x=0.1$): $(0.1)(3(0.1)-1) = (0.1)(-0.7) = -0.07 < 0$. Интервал не подходит.
- При $x > \frac{1}{3}$ (например, $x=1$): $(1)(3(1)-1) = (1)(2) = 2 > 0$. Интервал подходит.

Объединяя подходящие интервалы, получаем решение.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (\frac{1}{3}, +\infty)$

2)

Дано неравенство: $\frac{x-2}{5-x} > 1$.

Перенесем 1 в левую часть неравенства, чтобы сравнить выражение с нулем:

$\frac{x-2}{5-x} - 1 > 0$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{x-2 - (5-x)}{5-x} > 0$

Упростим числитель:

$\frac{x-2-5+x}{5-x} > 0$

$\frac{2x-7}{5-x} > 0$

Решим это рациональное неравенство методом интервалов. Найдем точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль:
- Нуль числителя: $2x-7=0 \Rightarrow x = \frac{7}{2} = 3.5$
- Нуль знаменателя: $5-x=0 \Rightarrow x = 5$ (эта точка не входит в область определения, поэтому будет выколотой)

Отметим эти точки на числовой прямой: $3.5$ и $5$. Они разбивают прямую на три интервала: $(-\infty, 3.5)$, $(3.5, 5)$ и $(5, +\infty)$.

Определим знак выражения $\frac{2x-7}{5-x}$ на каждом интервале:
- При $x < 3.5$ (например, $x=0$): $\frac{2(0)-7}{5-0} = \frac{-7}{5} < 0$. Интервал не подходит.
- При $3.5 < x < 5$ (например, $x=4$): $\frac{2(4)-7}{5-4} = \frac{1}{1} > 0$. Интервал подходит.
- При $x > 5$ (например, $x=6$): $\frac{2(6)-7}{5-6} = \frac{5}{-1} = -5 < 0$. Интервал не подходит.

Таким образом, неравенство выполняется только на интервале $(3.5, 5)$.

Ответ: $x \in (3.5, 5)$