Номер 591, страница 201 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

591. Установить, какое из двух уравнений является следствием другого уравнения:

1) $x-2=0$ и $x^2-5x+6=0$;

2) $\frac{x^2-5x+4}{x-1}=0$ и $x^2-5x+4=0$.

1) Чтобы определить, какое из двух уравнений является следствием другого, необходимо найти множества решений для каждого уравнения и сравнить их. Уравнение $B$ является следствием уравнения $A$, если каждый корень уравнения $A$ также является корнем уравнения $B$ (т.е. множество решений $A$ является подмножеством множества решений $B$).
Рассмотрим первое уравнение: $x - 2 = 0$.
Оно имеет единственный корень: $x = 2$.
Множество его решений: $\{2\}$.
Рассмотрим второе уравнение: $x^2 - 5x + 6 = 0$.
Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью теоремы Виета:
$x_1 + x_2 = 5$
$x_1 \cdot x_2 = 6$
Отсюда корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.
Множество его решений: $\{2, 3\}$.
Сравнивая множества решений, мы видим, что множество решений первого уравнения $\{2\}$ является подмножеством множества решений второго уравнения $\{2, 3\}$. Это означает, что любой корень первого уравнения является корнем второго. Обратное неверно, так как $x = 3$ является корнем второго уравнения, но не является корнем первого.
Следовательно, уравнение $x^2 - 5x + 6 = 0$ является следствием уравнения $x - 2 = 0$.
Ответ: Уравнение $x^2 - 5x + 6 = 0$ является следствием уравнения $x - 2 = 0$.

2) Рассмотрим вторую пару уравнений, используя тот же принцип.
Решим первое уравнение: $\frac{x^2 - 5x + 4}{x - 1} = 0$.
Данное уравнение равносильно системе:
$\begin{cases} x^2 - 5x + 4 = 0, \\ x - 1 \neq 0. \end{cases}$
Решаем квадратное уравнение $x^2 - 5x + 4 = 0$. По теореме Виета:
$x_1 + x_2 = 5$
$x_1 \cdot x_2 = 4$
Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.
Теперь применим условие $x - 1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$. Корень $x=1$ является посторонним и должен быть исключен.
Таким образом, единственным решением первого уравнения является $x = 4$.
Множество его решений: $\{4\}$.
Решим второе уравнение: $x^2 - 5x + 4 = 0$.
Как мы уже выяснили, его корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.
Множество его решений: $\{1, 4\}$.
Сравнивая множества решений, мы видим, что множество решений первого уравнения $\{4\}$ является подмножеством множества решений второго уравнения $\{1, 4\}$. Корень первого уравнения является корнем второго. Обратное неверно, так как $x = 1$ является корнем второго уравнения, но не удовлетворяет области определения первого.
Следовательно, уравнение $x^2 - 5x + 4 = 0$ является следствием уравнения $\frac{x^2 - 5x + 4}{x - 1} = 0$.
Ответ: Уравнение $x^2 - 5x + 4 = 0$ является следствием уравнения $\frac{x^2 - 5x + 4}{x - 1} = 0$.