gdz.top
Номер 7, страница 170 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева
Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, синий
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава IV. Степень с действительным показателем. Вопросы к главе IV - номер 7, страница 170.
№6
№7 (с. 170)
Условие. №7 (с. 170)
7. Чему равна сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии?
Решение 1. №7 (с. 170)
Решение 4. №7 (с. 170)
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия — это числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего умножением на одно и то же число $q$, называемое знаменателем прогрессии, причём модуль знаменателя должен быть меньше единицы, то есть $|q| < 1$.
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии определяется как предел, к которому стремится сумма первых $n$ членов прогрессии ($S_n$) при неограниченном возрастании числа членов ($n \to \infty$).
Формула суммы первых $n$ членов любой геометрической прогрессии имеет вид: $$S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$$ где $b_1$ — это первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель.
Для нахождения суммы $S$ бесконечной прогрессии необходимо вычислить предел $S_n$ при $n \to \infty$: $$S = \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$$
Так как для бесконечно убывающей геометрической прогрессии выполняется условие $|q| < 1$, то при $n \to \infty$, значение $q^n$ стремится к нулю. Например, если $q = \frac{1}{2}$, то $q^2=\frac{1}{4}$, $q^3=\frac{1}{8}$ и так далее, то есть члены последовательности $q^n$ становятся всё ближе к нулю. Математически это записывается как: $$\lim_{n \to \infty} q^n = 0 \text{ при } |q| < 1$$
Подставляя этот результат в формулу для предела суммы, мы получаем формулу для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: $$S = \frac{b_1(1-0)}{1-q} = \frac{b_1}{1-q}$$
Таким образом, сумма равна отношению первого члена прогрессии к разности между единицей и знаменателем прогрессии.
Ответ: Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$, где $|q| < 1$, вычисляется по формуле: $$S = \frac{b_1}{1-q}$$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 7 расположенного на странице 170 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №7 (с. 170), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.