Страница 170 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

546. В открытых водохранилищах максимальная высота волны $h$ (в м) определяется по формуле $h = 0,208 \cdot W^{\frac{5}{4}} \cdot D^{\frac{1}{3}}$, где $W$ — скорость ветра (в м/с), $D$ — длина разгона волны (в км). Найти высоту волны при $W = 8$ м/с, $D = 3$ км.

Для нахождения максимальной высоты волны $h$ необходимо использовать формулу, данную в условии задачи:

$h = 0,208 \cdot W^{\frac{5}{4}} \cdot D^{\frac{1}{3}}$

В этой формуле:

$h$ — максимальная высота волны в метрах (м),

$W$ — скорость ветра в метрах в секунду (м/с),

$D$ — длина разгона волны в километрах (км).

По условию задачи нам даны следующие значения:

$W = 8$ м/с

$D = 3$ км

Подставим эти значения в формулу, чтобы найти высоту волны $h$:

$h = 0,208 \cdot 8^{\frac{5}{4}} \cdot 3^{\frac{1}{3}}$

Теперь необходимо вычислить значения степеней. Начнем с $8^{\frac{5}{4}}$.

Представим основание степени 8 как $2^3$:

$8^{\frac{5}{4}} = (2^3)^{\frac{5}{4}} = 2^{3 \cdot \frac{5}{4}} = 2^{\frac{15}{4}}$

Это выражение можно записать в виде произведения $2^3 \cdot 2^{\frac{3}{4}}$, что равно $8 \cdot \sqrt[4]{2^3}$ или $8\sqrt[4]{8}$.

Второй степенной множитель $3^{\frac{1}{3}}$ — это кубический корень из трех, то есть $\sqrt[3]{3}$.

Таким образом, точное выражение для $h$ выглядит так:

$h = 0,208 \cdot 8\sqrt[4]{8} \cdot \sqrt[3]{3} = 1,664 \cdot \sqrt[4]{8} \cdot \sqrt[3]{3}$

Для получения конечного числового ответа вычислим приближенные значения иррациональных чисел (обычно это делается с помощью калькулятора):

$8^{\frac{5}{4}} = 2^{3.75} \approx 13,454$

$3^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{3} \approx 1,442$

Теперь подставим эти приближенные значения обратно в формулу:

$h \approx 0,208 \cdot 13,454 \cdot 1,442$

Выполним умножение:

$h \approx 2,7984 \cdot 1,442 \approx 4,0351$

Округлим полученный результат до двух знаков после запятой:

$h \approx 4,04$ м

Ответ: высота волны составляет приблизительно 4,04 м.

547. Расход воды $Q$ небольшого оросительного канала (количество воды в кубических метрах, протекающее через поперечное сечение канала) на практике часто определяют с помощью специального отверстия в поперечной перегородке — водосливе по формуле $Q = 1.4h^{2.5}$, где $h$ — напор воды — высота слоя воды (в м) перед водосливом. Найти расход воды, если напор воды равен:

1) 0,8 м;

2) 0,5 м.

Для решения задачи необходимо подставить заданные значения напора воды $h$ в формулу для расхода воды $Q$:

$Q = 1,4h^{2,5}$

1) Найдем расход воды, если напор воды равен 0,8 м.

Подставляем значение $h = 0,8$ м в формулу:

$Q = 1,4 \cdot (0,8)^{2,5}$

Степень $2,5$ можно представить в виде дроби $\frac{5}{2}$, поэтому выражение $h^{2,5}$ можно вычислить как $\sqrt{h^5}$.

Вычислим значение $(0,8)^5$:

$(0,8)^5 = 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,8 = 0,32768$

Теперь найдем значение расхода $Q$:

$Q = 1,4 \cdot \sqrt{0,32768} \approx 1,4 \cdot 0,57243 \approx 0,8014$

Округляя до сотых, получаем, что расход воды составляет приблизительно 0,80 м³.

Ответ: $\approx 0,80$ м³.

2) Найдем расход воды, если напор воды равен 0,5 м.

Подставляем значение $h = 0,5$ м в формулу:

$Q = 1,4 \cdot (0,5)^{2,5}$

Выполним вычисления аналогично предыдущему пункту.

Вычислим значение $(0,5)^5$:

$(0,5)^5 = (\frac{1}{2})^5 = \frac{1}{32} = 0,03125$

Теперь найдем значение расхода $Q$:

$Q = 1,4 \cdot \sqrt{0,03125} \approx 1,4 \cdot 0,17678 \approx 0,2475$

Округляя до сотых, получаем, что расход воды составляет приблизительно 0,25 м³.

Ответ: $\approx 0,25$ м³.

548. За счёт ухода воды в грунт расход воды в канале постепенно уменьшается. Если в определённом месте канала расход воды Q м³, то ниже по течению от этого места он будет меньше. Расход воды Q₁ в километре от исследуемого места для суглинистого грунта приближённо находят по формуле $Q_1 = Q - 0,019Q^{0,6}$. Найти расход воды в километре от того места, где $Q = 40$ м³.

Для решения задачи необходимо воспользоваться формулой, приведённой в условии, которая описывает расход воды $Q_1$ в километре от исследуемого места для суглинистого грунта:
$Q_1 = Q - 0,019Q^{0,6}$

По условию, первоначальный расход воды в определённом месте канала составляет $Q = 40$ м³. Подставим это значение в формулу:
$Q_1 = 40 - 0,019 \times 40^{0,6}$

Далее произведём вычисления пошагово.

1. Вычислим значение $40^{0,6}$. Показатель степени $0,6$ можно представить в виде дроби $\frac{6}{10}$ или $\frac{3}{5}$. Таким образом, нам нужно найти $40^{3/5}$. Это можно сделать с помощью калькулятора:
$40^{0,6} \approx 9,5198$

2. Теперь подставим полученное значение обратно в формулу:
$Q_1 \approx 40 - 0,019 \times 9,5198$

3. Выполним умножение:
$0,019 \times 9,5198 \approx 0,1808762$

4. Выполним вычитание:
$Q_1 \approx 40 - 0,1808762$
$Q_1 \approx 39,8191238$

Округлив результат до сотых, получим, что расход воды в километре от того места, где $Q = 40$ м³, будет приблизительно равен $39,82$ м³.

Ответ: $Q_1 \approx 39,82$ м³.

549. Средний коэффициент роста $\bar{x}$ некоторого показателя в экономике рассчитывается по формуле среднего геометрического: $\bar{x} = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot \dots \cdot x_n}$, где $x_i$ — значение элемента, $n$ — количество элементов в исследуемой совокупности. Сравнить средние коэффициенты роста объёма производства на двух предприятиях за 3 года, если на первом предприятии объём производства увеличивался ежегодно на 11%, а на втором в течение первого года вырос на 60%, во второй год упал на 5%, в третий год упал на 10%.

Для сравнения средних коэффициентов роста на двух предприятиях необходимо рассчитать их по формуле среднего геометрического, приведённой в условии: $\bar{x} = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot \dots \cdot x_n}$. В данном случае период составляет 3 года, поэтому $n=3$.

Коэффициент роста ($x_i$) показывает, во сколько раз изменился показатель за период. Если показатель вырос на $p\%$, то коэффициент равен $1 + p/100$. Если показатель упал на $p\%$, то коэффициент равен $1 - p/100$.

Расчет для первого предприятия

На первом предприятии объём производства ежегодно увеличивался на 11%. Это значит, что годовые коэффициенты роста были одинаковыми для всех трёх лет:

$x_{1,1} = 1 + \frac{11}{100} = 1.11$

$x_{1,2} = 1 + \frac{11}{100} = 1.11$

$x_{1,3} = 1 + \frac{11}{100} = 1.11$

Средний коэффициент роста для первого предприятия ($\bar{x}_1$) равен:

$\bar{x}_1 = \sqrt[3]{1.11 \cdot 1.11 \cdot 1.11} = \sqrt[3]{(1.11)^3} = 1.11$

Расчет для второго предприятия

На втором предприятии изменения объёма производства были разными по годам. Рассчитаем соответствующие годовые коэффициенты роста:

Для первого года (рост на 60%): $x_{2,1} = 1 + \frac{60}{100} = 1.6$

Для второго года (падение на 5%): $x_{2,2} = 1 - \frac{5}{100} = 0.95$

Для третьего года (падение на 10%): $x_{2,3} = 1 - \frac{10}{100} = 0.90$

Средний коэффициент роста для второго предприятия ($\bar{x}_2$) равен:

$\bar{x}_2 = \sqrt[3]{1.6 \cdot 0.95 \cdot 0.90} = \sqrt[3]{1.368}$

Сравнение средних коэффициентов роста

Теперь сравним полученные значения: $\bar{x}_1 = 1.11$ и $\bar{x}_2 = \sqrt[3]{1.368}$.

Чтобы сравнить эти два положительных числа, можно возвести их в одну и ту же степень. Возведём оба значения в куб:

$(\bar{x}_1)^3 = (1.11)^3 = 1.367631$

$(\bar{x}_2)^3 = (\sqrt[3]{1.368})^3 = 1.368$

Так как $1.368 > 1.367631$, то $(\bar{x}_2)^3 > (\bar{x}_1)^3$, а следовательно, и $\bar{x}_2 > \bar{x}_1$.

Ответ: Средний коэффициент роста объёма производства на втором предприятии выше, чем на первом.

1. Что называется действительным числом?

1. Действительное (или вещественное) число — это любое число, которое можно расположить на числовой прямой. Множество всех действительных чисел обозначается символом $R$.

Множество действительных чисел является объединением двух больших, непересекающихся множеств: рациональных и иррациональных чисел.

Рациональные числа (обозначаются $Q$) — это числа, которые можно представить в виде обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$, где числитель $m$ является целым числом ($m \in Z$), а знаменатель $n$ — натуральным числом ($n \in N$). К рациональным числам относятся все целые числа (например, $-7, 0, 15$), а также все конечные и бесконечные периодические десятичные дроби. Например, $0.5 = \frac{1}{2}$, $-2.25 = -\frac{9}{4}$, $0.(3) = 0.333... = \frac{1}{3}$.

Иррациональные числа (обозначаются $I$) — это числа, которые нельзя представить в виде дроби $\frac{m}{n}$. В виде десятичной дроби они представляются как бесконечные непериодические дроби. Известные примеры иррациональных чисел:

• Число $\pi$ (пи), равное отношению длины окружности к её диаметру: $\pi \approx 3.14159265...$
• Число $e$ (основание натурального логарифма): $e \approx 2.71828182...$
• Корни из чисел, не являющихся точными квадратами, кубами и т.д., например, $\sqrt{2} \approx 1.41421356...$ или $\sqrt[3]{5}$.

Таким образом, любое действительное число является либо рациональным, либо иррациональным. Это можно записать формулой $R = Q \cup I$. Другими словами, любое число, которое можно записать в виде бесконечной десятичной дроби (периодической для рациональных и непериодической для иррациональных), является действительным числом.

Ответ: Действительным числом называется любое рациональное или иррациональное число; это число, которое может быть записано в виде бесконечной десятичной дроби.

2. Сохраняются ли законы и правила действий над рациональными числами и для действительных чисел?

Да, все законы и правила действий, справедливые для рациональных чисел, полностью сохраняются и для действительных чисел. Множество действительных чисел $\mathbb{R}$ является расширением множества рациональных чисел $\mathbb{Q}$. Это расширение построено таким образом, чтобы сохранить все основные алгебраические и порядковые свойства. Иными словами, и рациональные, и действительные числа образуют упорядоченное поле, поэтому для них действуют одни и те же аксиомы и правила.

Основные законы и правила, которые сохраняются:

• Переместительный (коммутативный) закон

  Для любых действительных чисел $a$ и $b$ результат операции не зависит от порядка операндов.

  Сложение: $a + b = b + a$. Например, $5 + \sqrt{2} = \sqrt{2} + 5$.

  Умножение: $a \cdot b = b \cdot a$. Например, $\pi \cdot 7 = 7 \cdot \pi$.

• Сочетательный (ассоциативный) закон

  Для любых действительных чисел $a$, $b$ и $c$ порядок выполнения однотипных операций не влияет на результат.

  Сложение: $(a + b) + c = a + (b + c)$.

  Умножение: $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$.

• Распределительный (дистрибутивный) закон

  Этот закон связывает операции сложения и умножения. Для любых действительных чисел $a$, $b$ и $c$ справедливо:

  $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$.

  Например, $\sqrt{3} \cdot (4 + \sqrt{3}) = \sqrt{3} \cdot 4 + \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3} + 3$.

• Свойства нуля и единицы

  Существуют нейтральные элементы для сложения (число 0) и умножения (число 1), которые являются действительными числами:

  $a + 0 = a$

  $a \cdot 1 = a$

  Умножение на ноль всегда дает ноль: $a \cdot 0 = 0$.

• Существование противоположных и обратных чисел

  Для любого действительного числа $a$ существует противоположное ему число $-a$ такое, что их сумма равна нулю: $a + (-a) = 0$.

  Для любого действительного числа $a \neq 0$ существует обратное ему число $\frac{1}{a}$ такое, что их произведение равно единице: $a \cdot \frac{1}{a} = 1$.

• Правила сравнения и действий с неравенствами

  Правила сравнения чисел (например, из двух чисел больше то, которое на числовой оси находится правее) и свойства неравенств (например, прибавление одного и того же числа к обеим частям неравенства или умножение на положительное число не меняет знак неравенства) также полностью сохраняются для действительных чисел.

Таким образом, переход от рациональных чисел к действительным не отменяет и не изменяет ни одного из фундаментальных законов арифметики. Он лишь расширяет множество чисел, с которыми можно выполнять эти действия, включая иррациональные числа (такие как $\sqrt{2}$, $\pi$, $e$), чтобы заполнить "пробелы" на числовой прямой.

Ответ: Да, законы и правила действий над рациональными числами полностью сохраняются и для действительных чисел.

3. Что называется пределом числовой последовательности?

3/4

Привести пример последовательности,

Что называется пределом числовой последовательности?

Число A называется пределом числовой последовательности {$x_n$}, если для любого, сколь угодно малого, положительного числа $\epsilon > 0$ (эпсилон) существует такое натуральное число $N$ (зависящее от $\epsilon$), что для всех членов последовательности с номерами $n > N$ выполняется неравенство:

$|x_n - A| < \epsilon$

Простыми словами, предел — это число, к которому члены последовательности приближаются бесконечно близко с ростом их номера n. Геометрически это означает, что какой бы малый интервал $(A - \epsilon, A + \epsilon)$ вокруг точки A мы ни взяли, все члены последовательности, начиная с некоторого номера $N+1$, будут находиться внутри этого интервала.

Предел последовательности обозначается как $\lim_{n \to \infty} x_n = A$ или $x_n \to A$ при $n \to \infty$. Если последовательность имеет конечный предел, она называется сходящейся.

Ответ: Пределом числовой последовательности {$x_n$} называется такое число A, что для любого положительного числа $\epsilon$ существует натуральное число N, такое, что для всех $n > N$ выполняется неравенство $|x_n - A| < \epsilon$.

Пример последовательности и нахождение ее предела

Рассмотрим последовательность, заданную формулой общего члена $x_n = \frac{n+1}{n}$.

Первые члены этой последовательности: $x_1 = \frac{2}{1} = 2$; $x_2 = \frac{3}{2} = 1.5$; $x_3 = \frac{4}{3} \approx 1.33$; ...; $x_{100} = \frac{101}{100} = 1.01$.

Видно, что члены последовательности приближаются к 1. Докажем, что предел этой последовательности равен 1.

1. Нахождение предела с использованием его свойств.

Преобразуем выражение для общего члена, разделив его почленно:

$x_n = \frac{n+1}{n} = \frac{n}{n} + \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{n}$

Теперь найдем предел, используя свойство предела суммы и известный предел $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$:

$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n}) = \lim_{n \to \infty} 1 + \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 1 + 0 = 1$

2. Доказательство по определению (через $\epsilon-N$).

Мы должны доказать, что $\lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n} = 1$. Для этого нужно показать, что для любого $\epsilon > 0$ найдется такое натуральное $N$, что для всех $n > N$ будет выполняться неравенство $|\frac{n+1}{n} - 1| < \epsilon$.

Упростим выражение в модуле:

$|\frac{n+1}{n} - 1| = |\frac{n+1-n}{n}| = |\frac{1}{n}|$

Поскольку $n$ — натуральное число, $n > 0$, то $|\frac{1}{n}| = \frac{1}{n}$.

Нам нужно решить неравенство $\frac{1}{n} < \epsilon$. Отсюда $n > \frac{1}{\epsilon}$.

Следовательно, в качестве искомого номера $N$ мы можем взять любое натуральное число, большее, чем $\frac{1}{\epsilon}$. Например, можно выбрать $N = \lfloor \frac{1}{\epsilon} \rfloor + 1$, где $\lfloor \cdot \rfloor$ — целая часть числа.

Таким образом, для любого $n > N$ будет выполняться неравенство $n > \frac{1}{\epsilon}$, что равносильно $\frac{1}{n} < \epsilon$. Это доказывает по определению, что предел последовательности равен 1.

Ответ: Пример последовательности: $x_n = \frac{n+1}{n}$. Ее предел равен $\lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n} = 1$.

4. Привести пример последовательности, предел которой равен 0.

Последовательность, предел которой равен нулю, — это такая последовательность $\{a_n\}$, члены которой становятся сколь угодно близки к нулю при неограниченном увеличении их номера $n$. Это записывается как $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$.

Можно привести несколько примеров таких последовательностей.

Пример 1.
Рассмотрим последовательность, общий член которой равен $a_n = \frac{1}{n}$. Её первые члены: $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \ldots, \frac{1}{100}, \ldots$. Интуитивно понятно, что с увеличением натурального числа $n$ в знаменателе, значение дроби $\frac{1}{n}$ будет уменьшаться и приближаться к нулю. Предел этой последовательности равен: $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$.

Пример 2.
Рассмотрим знакочередующуюся последовательность $a_n = \frac{(-1)^n}{n}$. Её первые члены: $-1, \frac{1}{2}, -\frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \ldots$. Несмотря на то, что знаки членов последовательности чередуются, их абсолютные значения $|a_n| = \frac{1}{n}$ стремятся к нулю. Следовательно, предел всей последовательности также равен нулю: $\lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^n}{n} = 0$.

Пример 3.
Рассмотрим последовательность, являющуюся геометрической прогрессией со знаменателем $q$, модуль которого меньше единицы ($|q| < 1$). Например, $a_n = (\frac{1}{2})^n$. Её первые члены: $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \ldots$. Каждый следующий член в два раза меньше предыдущего, поэтому последовательность быстро стремится к нулю: $\lim_{n \to \infty} (\frac{1}{2})^n = 0$.

Любой из приведённых примеров является корректным ответом на поставленный вопрос. Наиболее классическим является первый пример.

Ответ: Примером последовательности, предел которой равен 0, является последовательность с общим членом $a_n = \frac{1}{n}$.

5. Какая последовательность называется бесконечно убывающей геометрической прогрессией?

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия — это частный случай геометрической прогрессии. Вспомним, что геометрической прогрессией называется числовая последовательность ($b_1, b_2, b_3, \dots, b_n, \dots$), каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число $q$, не равное нулю. Это число $q$ называется знаменателем геометрической прогрессии. Формула n-го члена имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Бесконечно убывающей геометрической прогрессией называется такая бесконечная геометрическая прогрессия, знаменатель $q$ которой по модулю строго меньше единицы.

Основное условие: $|q| < 1$ (или, что то же самое, $-1 < q < 1$).

При выполнении этого условия модуль каждого следующего члена прогрессии будет меньше модуля предыдущего: $|b_{n+1}| < |b_n|$. При неограниченном возрастании номера члена $n$ (при $n \to \infty$), члены прогрессии будут стремиться к нулю ($b_n \to 0$). Именно из-за этого свойства — стремления членов к нулю — прогрессия и получила название "бесконечно убывающей".

Примеры:

1. Последовательность $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \dots$ является бесконечно убывающей геометрической прогрессией, так как её знаменатель $q = \frac{1}{2}$, и $|q| = \frac{1}{2} < 1$.
2. Последовательность $1, - \frac{1}{3}, \frac{1}{9}, - \frac{1}{27}, \dots$ также является бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Её знаменатель $q = -\frac{1}{3}$, и $|q| = |-\frac{1}{3}| = \frac{1}{3} < 1$. Несмотря на то что знаки членов чередуются, их абсолютные значения стремятся к нулю.

Ключевой особенностью таких прогрессий является то, что сумма их бесконечного числа членов сходится к конечному значению, которое можно вычислить по формуле: $S = \frac{b_1}{1-q}$.

Ответ: Бесконечно убывающей геометрической прогрессией называется геометрическая прогрессия, знаменатель $q$ которой удовлетворяет условию $|q| < 1$.

6. Привести пример бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия — это такая геометрическая прогрессия, у которой модуль знаменателя $q$ строго меньше единицы, то есть $|q| < 1$. Общий член такой прогрессии $b_n$ стремится к нулю при неограниченном увеличении номера $n$.

Для того чтобы привести пример, необходимо задать первый член прогрессии $b_1$ (любое число, не равное нулю) и знаменатель $q$, удовлетворяющий условию $|q| < 1$.

Выберем в качестве примера прогрессию с первым членом $b_1 = 8$ и знаменателем $q = \frac{1}{2}$.

Проверим, выполняется ли условие для бесконечно убывающей прогрессии: $|q| = |\frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$. Поскольку $\frac{1}{2} < 1$, условие выполняется, и данная прогрессия является бесконечно убывающей.

Найдем первые несколько членов этой прогрессии по формуле $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$:
$b_1 = 8$
$b_2 = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$
$b_3 = 8 \cdot (\frac{1}{2})^2 = 8 \cdot \frac{1}{4} = 2$
$b_4 = 8 \cdot (\frac{1}{2})^3 = 8 \cdot \frac{1}{8} = 1$
$b_5 = 8 \cdot (\frac{1}{2})^4 = 8 \cdot \frac{1}{16} = \frac{1}{2}$
и так далее.

Таким образом, последовательность $8, 4, 2, 1, \frac{1}{2}, \dots$ является примером бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Ответ: Последовательность $8, 4, 2, 1, \dots$, где первый член $b_1 = 8$ и знаменатель $q = \frac{1}{2}$.

7. Чему равна сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии?

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия — это числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего умножением на одно и то же число $q$, называемое знаменателем прогрессии, причём модуль знаменателя должен быть меньше единицы, то есть $|q| < 1$.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии определяется как предел, к которому стремится сумма первых $n$ членов прогрессии ($S_n$) при неограниченном возрастании числа членов ($n \to \infty$).

Формула суммы первых $n$ членов любой геометрической прогрессии имеет вид: $$S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$$ где $b_1$ — это первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель.

Для нахождения суммы $S$ бесконечной прогрессии необходимо вычислить предел $S_n$ при $n \to \infty$: $$S = \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$$

Так как для бесконечно убывающей геометрической прогрессии выполняется условие $|q| < 1$, то при $n \to \infty$, значение $q^n$ стремится к нулю. Например, если $q = \frac{1}{2}$, то $q^2=\frac{1}{4}$, $q^3=\frac{1}{8}$ и так далее, то есть члены последовательности $q^n$ становятся всё ближе к нулю. Математически это записывается как: $$\lim_{n \to \infty} q^n = 0 \text{ при } |q| < 1$$

Подставляя этот результат в формулу для предела суммы, мы получаем формулу для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: $$S = \frac{b_1(1-0)}{1-q} = \frac{b_1}{1-q}$$

Таким образом, сумма равна отношению первого члена прогрессии к разности между единицей и знаменателем прогрессии.

Ответ: Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$, где $|q| < 1$, вычисляется по формуле: $$S = \frac{b_1}{1-q}$$

8. Показать на примере, как с помощью формулы суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно обратить бесконечную периодическую десятичную дробь в обыкновенную.

Чтобы обратить бесконечную периодическую десятичную дробь в обыкновенную, можно представить её периодическую часть как сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Формула для нахождения суммы такой прогрессии: $S = \frac{b_1}{1 - q}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель, причём обязательно $|q| < 1$.

Рассмотрим два примера: для чистой периодической дроби (когда период начинается сразу после запятой) и для смешанной (когда между запятой и периодом есть цифры).

Пример 1: Чистая периодическая дробь

Задача: Обратить дробь $0.(27)$ в обыкновенную.

Дробь $0.(27)$ можно записать как $0.272727...$.

1. Представление в виде суммы. Представим эту дробь в виде бесконечной суммы: $0.272727... = 0.27 + 0.0027 + 0.000027 + ...$

2. Определение параметров прогрессии. Эта сумма является бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Её первый член $b_1 = 0.27$. Чтобы найти знаменатель $q$, разделим второй член на первый: $q = \frac{0.0027}{0.27} = 0.01$. Поскольку $|q| = 0.01 < 1$, мы можем применить формулу суммы.

3. Применение формулы суммы. Подставляем значения $b_1$ и $q$ в формулу: $S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{0.27}{1 - 0.01} = \frac{0.27}{0.99}$

4. Упрощение. Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим числитель и знаменатель на 100: $S = \frac{27}{99}$ Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 9: $\frac{27 \div 9}{99 \div 9} = \frac{3}{11}$

Ответ: $0.(27) = \frac{3}{11}$.

Пример 2: Смешанная периодическая дробь

Задача: Обратить дробь $0.41(6)$ в обыкновенную.

Дробь $0.41(6)$ можно записать как $0.416666...$.

1. Представление в виде суммы. Сначала отделим непериодическую часть от периодической: $0.41(6) = 0.41 + 0.00(6)$ Теперь представим периодическую часть $0.00(6) = 0.00666...$ в виде бесконечной суммы: $0.00666... = 0.006 + 0.0006 + 0.00006 + ...$

2. Определение параметров прогрессии для периодической части. Сумма $0.006 + 0.0006 + ...$ является бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Её первый член $b_1 = 0.006$. Её знаменатель $q = \frac{0.0006}{0.006} = 0.1$. Так как $|q| = 0.1 < 1$, формула применима.

3. Вычисление суммы периодической части. Найдём сумму $S$ для периодической части: $S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{0.006}{1 - 0.1} = \frac{0.006}{0.9} = \frac{6}{900} = \frac{1}{150}$

4. Сложение частей и упрощение. Теперь вернёмся к исходному выражению и сложим непериодическую часть с полученной дробью: $0.41(6) = 0.41 + S = \frac{41}{100} + \frac{1}{150}$ Приведём дроби к общему знаменателю (300): $\frac{41 \cdot 3}{100 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 2}{150 \cdot 2} = \frac{123}{300} + \frac{2}{300} = \frac{125}{300}$ Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 25: $\frac{125 \div 25}{300 \div 25} = \frac{5}{12}$

Ответ: $0.41(6) = \frac{5}{12}$.