Страница 163 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

479. Упростить выражение

$\frac{c^{\frac{3}{2}}}{c^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}}} - \frac{cb^{\frac{1}{2}}}{b^{\frac{1}{2}}-c^{\frac{1}{2}}} + \frac{2c^2-4cb}{c-b}$.

Запишем исходное выражение:

$$ \frac{c^{\frac{3}{2}}}{c^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} - \frac{cb^{\frac{1}{2}}}{b^{\frac{1}{2}} - c^{\frac{1}{2}}} + \frac{2c^2 - 4cb}{c-b} $$

Для начала преобразуем вторую дробь. Изменим знак в знаменателе $b^{\frac{1}{2}} - c^{\frac{1}{2}} = -(c^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})$ и вынесем минус перед всей дробью. Это позволит нам поменять знак перед второй дробью с минуса на плюс:

$$ \frac{c^{\frac{3}{2}}}{c^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} + \frac{cb^{\frac{1}{2}}}{c^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}} + \frac{2c^2 - 4cb}{c-b} $$

Теперь приведем первые две дроби к общему знаменателю. Общим знаменателем для них является $(c^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})(c^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})$. По формуле разности квадратов это выражение равно $(c^{\frac{1}{2}})^2 - (b^{\frac{1}{2}})^2 = c-b$.

Заметим, что это знаменатель третьей дроби. Таким образом, можно привести все выражение к общему знаменателю $c-b$.

Сначала сложим первые две дроби:

$$ \frac{c^{\frac{3}{2}}(c^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}) + cb^{\frac{1}{2}}(c^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})}{c-b} $$

Раскроем скобки в числителе:

$$ c^{\frac{3}{2}} \cdot c^{\frac{1}{2}} - c^{\frac{3}{2}}b^{\frac{1}{2}} + c \cdot c^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + c \cdot b^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} = c^2 - c^{\frac{3}{2}}b^{\frac{1}{2}} + c^{\frac{3}{2}}b^{\frac{1}{2}} + cb $$

После приведения подобных слагаемых в числителе получаем:

$$ c^2 + cb $$

Таким образом, сумма первых двух дробей равна $\frac{c^2 + cb}{c-b}$.

Теперь добавим к этому результату третью дробь:

$$ \frac{c^2 + cb}{c-b} + \frac{2c^2 - 4cb}{c-b} = \frac{c^2 + cb + 2c^2 - 4cb}{c-b} $$

Сложим подобные слагаемые в числителе:

$$ \frac{(c^2 + 2c^2) + (cb - 4cb)}{c-b} = \frac{3c^2 - 3cb}{c-b} $$

Вынесем за скобки общий множитель $3c$ в числителе:

$$ \frac{3c(c-b)}{c-b} $$

Сократим дробь на $(c-b)$, учитывая, что $c \neq b$, иначе знаменатель обращается в ноль.

$$ 3c $$

Ответ: $3c$

Вычислить (480–483).

480.

1) $3^{\sqrt{5}} \cdot 3^{-\sqrt{5}}$; 2) $3^{2\sqrt{2}} : 9^{\sqrt{2}}$; 3) $(6^{\sqrt{3}})^{\sqrt{3}}$; 4) $((0,5)^{\sqrt{2}})^{\sqrt{8}}$.

1) $3^{\sqrt{5}} \cdot 3^{-\sqrt{5}}$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются. Это свойство степеней записывается в виде формулы $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

В данном случае основание $a = 3$, а показатели степеней $m = \sqrt{5}$ и $n = -\sqrt{5}$.

Применяя правило, получаем:

$3^{\sqrt{5}} \cdot 3^{-\sqrt{5}} = 3^{\sqrt{5} + (-\sqrt{5})} = 3^{\sqrt{5} - \sqrt{5}} = 3^0$

Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице, то есть $a^0=1$.

Следовательно, $3^0 = 1$.

Ответ: $1$

2) $3^{2\sqrt{2}} : 9^{\sqrt{2}}$

Для решения этого примера приведем степени к одному основанию. Заметим, что $9 = 3^2$.

Подставим это в выражение:

$9^{\sqrt{2}} = (3^2)^{\sqrt{2}}$

При возведении степени в степень их показатели перемножаются. Это свойство записывается как $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

$(3^2)^{\sqrt{2}} = 3^{2 \cdot \sqrt{2}} = 3^{2\sqrt{2}}$

Теперь исходное выражение выглядит так:

$3^{2\sqrt{2}} : 3^{2\sqrt{2}}$

При делении степеней с одинаковым основанием из показателя делимого вычитается показатель делителя, то есть $a^m : a^n = a^{m-n}$.

$3^{2\sqrt{2}} : 3^{2\sqrt{2}} = 3^{2\sqrt{2} - 2\sqrt{2}} = 3^0 = 1$

Ответ: $1$

3) $(6^{\sqrt{3}})^{\sqrt{3}}$

Используем свойство возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

В данном случае основание $a = 6$, показатель $m = \sqrt{3}$, и степень $n = \sqrt{3}$.

$(6^{\sqrt{3}})^{\sqrt{3}} = 6^{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = 6^{(\sqrt{3})^2} = 6^3$

Теперь вычислим значение $6^3$:

$6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 36 \cdot 6 = 216$

Ответ: $216$

4) $((0,5)^{\sqrt{2}})^{\sqrt{8}}$

Снова применяем свойство возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

Основание $a = 0,5$, показатель $m = \sqrt{2}$, степень $n = \sqrt{8}$.

$((0,5)^{\sqrt{2}})^{\sqrt{8}} = (0,5)^{\sqrt{2} \cdot \sqrt{8}}$

Вычислим произведение показателей:

$\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{2 \cdot 8} = \sqrt{16} = 4$

Таким образом, выражение упрощается до $(0,5)^4$.

Представим десятичную дробь $0,5$ в виде обыкновенной дроби $\frac{1}{2}$ и вычислим результат:

$(0,5)^4 = (\frac{1}{2})^4 = \frac{1^4}{2^4} = \frac{1}{16}$

Ответ: $\frac{1}{16}$

481. 1) $2^{2-3\sqrt{5}} \cdot 8^{\sqrt{5}}$;

2) $5^{1+2\sqrt[3]{2}} : 25^{\sqrt[3]{2}}$;

3) $(3^{1+\sqrt{2}})^{1-\sqrt{2}}$;

4) $(7^{1-\sqrt{5}})^{1+\sqrt{5}} - (\sqrt{7})^0$.

1) Для решения примера $2^{2-3\sqrt{5}} \cdot 8^{\sqrt{5}}$ представим число 8 как степень двойки: $8 = 2^3$.
Выражение примет вид: $2^{2-3\sqrt{5}} \cdot (2^3)^{\sqrt{5}}$.
Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получим: $2^{2-3\sqrt{5}} \cdot 2^{3\sqrt{5}}$.
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):
$2^{(2-3\sqrt{5}) + 3\sqrt{5}} = 2^{2-3\sqrt{5}+3\sqrt{5}} = 2^2$.
$2^2 = 4$.
Ответ: 4

2) Для решения примера $5^{1+2\sqrt[3]{2}} : 25^{\sqrt[3]{2}}$ представим число 25 как степень пятерки: $25 = 5^2$.
Выражение примет вид: $5^{1+2\sqrt[3]{2}} : (5^2)^{\sqrt[3]{2}}$.
Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получим: $5^{1+2\sqrt[3]{2}} : 5^{2\sqrt[3]{2}}$.
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($a^m : a^n = a^{m-n}$):
$5^{(1+2\sqrt[3]{2}) - 2\sqrt[3]{2}} = 5^{1+2\sqrt[3]{2}-2\sqrt[3]{2}} = 5^1$.
$5^1 = 5$.
Ответ: 5

3) В выражении $(3^{1+\sqrt{2}})^{1-\sqrt{2}}$ воспользуемся свойством возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$.
Показатели степеней перемножаются: $3^{(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})}$.
В показателе степени мы видим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$, где $a=1$ и $b=\sqrt{2}$.
$(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2}) = 1^2 - (\sqrt{2})^2 = 1 - 2 = -1$.
Таким образом, выражение упрощается до $3^{-1}$.
Используя свойство отрицательной степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем: $3^{-1} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$

4) Выражение $(7^{1-\sqrt{5}})^{1+\sqrt{5}} - (\sqrt{7})^0$ состоит из двух частей. Решим их по очереди.
Первая часть: $(7^{1-\sqrt{5}})^{1+\sqrt{5}}$.
Используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$: $7^{(1-\sqrt{5})(1+\sqrt{5})}$.
Применяем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$, где $a=1$ и $b=\sqrt{5}$.
$(1-\sqrt{5})(1+\sqrt{5}) = 1^2 - (\sqrt{5})^2 = 1 - 5 = -4$.
Получаем $7^{-4}$.
Вторая часть: $(\sqrt{7})^0$.
Любое ненулевое число в степени 0 равно 1, поэтому $(\sqrt{7})^0 = 1$.
Теперь вычтем вторую часть из первой: $7^{-4} - 1$.
$7^{-4} = \frac{1}{7^4} = \frac{1}{2401}$.
$\frac{1}{2401} - 1 = \frac{1}{2401} - \frac{2401}{2401} = \frac{1-2401}{2401} = -\frac{2400}{2401}$.
Ответ: $-\frac{2400}{2401}$

482. 1) $2^{2-3\sqrt{3}} \cdot 8^{\sqrt{3}}$

2) $9^{3+\sqrt{2}} \cdot 3^{1-\sqrt{2}} \cdot 3^{-4-\sqrt{2}}$

1) Чтобы упростить выражение $2^{2-3\sqrt{3}} \cdot 8^{\sqrt{3}}$, приведем все степени к одному основанию.

Заметим, что $8 = 2^3$. Подставим это в исходное выражение:

$2^{2-3\sqrt{3}} \cdot (2^3)^{\sqrt{3}}$

Воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(2^3)^{\sqrt{3}} = 2^{3 \cdot \sqrt{3}} = 2^{3\sqrt{3}}$

Теперь выражение выглядит так:

$2^{2-3\sqrt{3}} \cdot 2^{3\sqrt{3}}$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):

$2^{(2-3\sqrt{3}) + 3\sqrt{3}} = 2^{2-3\sqrt{3}+3\sqrt{3}} = 2^2$

Вычисляем результат:

$2^2 = 4$

Ответ: 4

2) Упростим выражение $9^{3+\sqrt{2}} \cdot 3^{1-\sqrt{2}} \cdot 3^{-4-\sqrt{2}}$.

Приведем все множители к одному основанию 3. Мы знаем, что $9 = 3^2$.

Подставим это в выражение:

$(3^2)^{3+\sqrt{2}} \cdot 3^{1-\sqrt{2}} \cdot 3^{-4-\sqrt{2}}$

Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ для первого множителя:

$(3^2)^{3+\sqrt{2}} = 3^{2 \cdot (3+\sqrt{2})} = 3^{6+2\sqrt{2}}$

Теперь все выражение имеет вид:

$3^{6+2\sqrt{2}} \cdot 3^{1-\sqrt{2}} \cdot 3^{-4-\sqrt{2}}$

Так как все основания одинаковы, мы можем сложить показатели степеней ($a^m \cdot a^n \cdot a^p = a^{m+n+p}$):

$3^{(6+2\sqrt{2}) + (1-\sqrt{2}) + (-4-\sqrt{2})}$

Упростим показатель степени, сгруппировав целые числа и слагаемые с корнями:

$(6+1-4) + (2\sqrt{2}-\sqrt{2}-\sqrt{2}) = 3 + 0 = 3$

В результате получаем:

$3^3 = 27$

Ответ: 27

483. 1) $ \frac{8^{3+\sqrt{5}}}{2^{2+\sqrt{5}} \cdot 4^{1+\sqrt{5}}} $;

2) $ (2^{2\sqrt{3}} - 4^{\sqrt{3}-1}) \cdot 2^{-2\sqrt{3}} $.

1)

Для решения данного примера необходимо привести все степени к одному основанию. В данном случае это основание 2, так как $8 = 2^3$ и $4 = 2^2$.

Запишем исходное выражение, подставив вместо 8 и 4 их представления в виде степени двойки:

$\frac{8^{3+\sqrt{5}}}{2^{2+\sqrt{5}} \cdot 4^{1+\sqrt{5}}} = \frac{(2^3)^{3+\sqrt{5}}}{2^{2+\sqrt{5}} \cdot (2^2)^{1+\sqrt{5}}}$

Далее воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

Преобразуем числитель:

$(2^3)^{3+\sqrt{5}} = 2^{3 \cdot (3+\sqrt{5})} = 2^{9+3\sqrt{5}}$

Преобразуем второй множитель в знаменателе:

$(2^2)^{1+\sqrt{5}} = 2^{2 \cdot (1+\sqrt{5})} = 2^{2+2\sqrt{5}}$

Теперь выражение имеет вид:

$\frac{2^{9+3\sqrt{5}}}{2^{2+\sqrt{5}} \cdot 2^{2+2\sqrt{5}}}$

В знаменателе воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$2^{2+\sqrt{5}} \cdot 2^{2+2\sqrt{5}} = 2^{(2+\sqrt{5}) + (2+2\sqrt{5})} = 2^{4+3\sqrt{5}}$

Подставим полученное выражение в знаменатель дроби:

$\frac{2^{9+3\sqrt{5}}}{2^{4+3\sqrt{5}}}$

Применим свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$2^{(9+3\sqrt{5}) - (4+3\sqrt{5})} = 2^{9+3\sqrt{5} - 4 - 3\sqrt{5}} = 2^{5}$

Вычислим результат:

$2^5 = 32$

Ответ: $32$.

2)

Для решения этого примера раскроем скобки, умножив выражение в скобках на $2^{-2\sqrt{3}}$.

$(2^{2\sqrt{3}} - 4^{\sqrt{3}-1}) \cdot 2^{-2\sqrt{3}} = 2^{2\sqrt{3}} \cdot 2^{-2\sqrt{3}} - 4^{\sqrt{3}-1} \cdot 2^{-2\sqrt{3}}$

Приведем число 4 к основанию 2: $4 = 2^2$. Тогда $4^{\sqrt{3}-1} = (2^2)^{\sqrt{3}-1}$.

Используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получим:

$(2^2)^{\sqrt{3}-1} = 2^{2(\sqrt{3}-1)} = 2^{2\sqrt{3}-2}$

Подставим это в наше выражение:

$2^{2\sqrt{3}} \cdot 2^{-2\sqrt{3}} - 2^{2\sqrt{3}-2} \cdot 2^{-2\sqrt{3}}$

Теперь воспользуемся свойством $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ для обоих произведений.

Первое слагаемое:

$2^{2\sqrt{3}} \cdot 2^{-2\sqrt{3}} = 2^{2\sqrt{3} + (-2\sqrt{3})} = 2^{0} = 1$

Второе слагаемое:

$2^{2\sqrt{3}-2} \cdot 2^{-2\sqrt{3}} = 2^{(2\sqrt{3}-2) + (-2\sqrt{3})} = 2^{2\sqrt{3}-2-2\sqrt{3}} = 2^{-2}$

Теперь наше выражение выглядит так:

$1 - 2^{-2}$

Зная, что $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем:

$1 - \frac{1}{2^2} = 1 - \frac{1}{4}$

Вычисляем разность:

$1 - \frac{1}{4} = \frac{4}{4} - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

Ответ: $\frac{3}{4}$.

484. Выяснить, какое из чисел больше:

1) $5^{\sqrt{71}}$ или $5^{\sqrt{69}}$;

2) $(\frac{1}{2})^{\sqrt{3}}$ или $(\frac{1}{2})^{\sqrt{2}}$;

3) $3^{-\sqrt{3}}$ или $3^{-\sqrt{2}}$;

4) $2^{\sqrt{3}}$ или $2^{1,7}$.

1) $5^{\sqrt{71}}$ или $5^{\sqrt{69}}$

Для сравнения двух степеней с одинаковым основанием, большим единицы, нужно сравнить их показатели. Рассмотрим показательную функцию $y = 5^x$. Так как основание степени $a = 5$ больше 1 ($5 > 1$), то эта функция является возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента $x$ соответствует большее значение функции $y$.

Сравним показатели степеней: $\sqrt{71}$ и $\sqrt{69}$.
Поскольку подкоренные выражения положительны и $71 > 69$, то и $\sqrt{71} > \sqrt{69}$.

Так как функция $y=5^x$ возрастающая и показатель $\sqrt{71}$ больше показателя $\sqrt{69}$, то и значение первой степени больше значения второй.
Следовательно, $5^{\sqrt{71}} > 5^{\sqrt{69}}$.
Ответ: $5^{\sqrt{71}}$.

2) $(\frac{1}{2})^{\sqrt{3}}$ или $(\frac{1}{2})^{\sqrt{2}}$

Для сравнения двух степеней с одинаковым основанием, которое меньше единицы, но больше нуля, нужно сравнить их показатели. Рассмотрим показательную функцию $y = (\frac{1}{2})^x$. Так как основание степени $a = \frac{1}{2}$ находится в интервале от 0 до 1 ($0 < \frac{1}{2} < 1$), то эта функция является убывающей. Это означает, что большему значению аргумента $x$ соответствует меньшее значение функции $y$.

Сравним показатели степеней: $\sqrt{3}$ и $\sqrt{2}$.
Поскольку $3 > 2$, то $\sqrt{3} > \sqrt{2}$.

Так как функция $y=(\frac{1}{2})^x$ убывающая и показатель $\sqrt{3}$ больше показателя $\sqrt{2}$, то значение первой степени будет меньше значения второй.
Следовательно, $(\frac{1}{2})^{\sqrt{3}} < (\frac{1}{2})^{\sqrt{2}}$.
Ответ: $(\frac{1}{2})^{\sqrt{2}}$.

3) $3^{-\sqrt{3}}$ или $3^{-\sqrt{2}}$

Рассмотрим показательную функцию $y = 3^x$. Так как основание степени $a = 3$ больше 1 ($3 > 1$), то эта функция является возрастающей. Большему значению аргумента $x$ соответствует большее значение функции $y$.

Сравним показатели степеней: $-\sqrt{3}$ и $-\sqrt{2}$.
Сначала сравним положительные значения: $\sqrt{3}$ и $\sqrt{2}$. Поскольку $3 > 2$, то $\sqrt{3} > \sqrt{2}$.
При умножении неравенства на отрицательное число (-1) знак неравенства меняется на противоположный: $-\sqrt{3} < -\sqrt{2}$.

Так как функция $y=3^x$ возрастающая и показатель $-\sqrt{3}$ меньше показателя $-\sqrt{2}$, то и значение первой степени меньше значения второй.
Следовательно, $3^{-\sqrt{3}} < 3^{-\sqrt{2}}$.
Ответ: $3^{-\sqrt{2}}$.

4) $2^{\sqrt{3}}$ или $2^{1,7}$

Рассмотрим показательную функцию $y = 2^x$. Так как основание степени $a = 2$ больше 1 ($2 > 1$), то эта функция является возрастающей. Большему значению аргумента $x$ соответствует большее значение функции $y$.

Сравним показатели степеней: $\sqrt{3}$ и $1,7$.
Так как оба числа положительные, мы можем сравнить их квадраты.
$(\sqrt{3})^2 = 3$.
$(1,7)^2 = 1,7 \times 1,7 = 2,89$.
Поскольку $3 > 2,89$, то и $\sqrt{3} > 1,7$.

Так как функция $y=2^x$ возрастающая и показатель $\sqrt{3}$ больше показателя $1,7$, то и значение первой степени больше значения второй.
Следовательно, $2^{\sqrt{3}} > 2^{1,7}$.
Ответ: $2^{\sqrt{3}}$.

485. Сравнить с единицей число:

1) $2^{-2}$;

2) $(0,013)^{-1}$;

3) $(\frac{2}{7})^5$;

4) $27^{1,5}$;

5) $2^{-\sqrt{5}}$;

6) $(\frac{1}{2})^{\sqrt{3}}$;

7) $(\frac{\pi}{4})^{\sqrt{5}-2}$;

8) $(\frac{1}{3})^{\sqrt{8}-3}$.

Для сравнения степенного выражения $a^b$ с единицей ($1$), используется свойство монотонности показательной функции $y=a^x$.

1. Если основание $a > 1$, функция является возрастающей. Это означает, что если показатель $b > 0$, то $a^b > a^0 = 1$. Если же показатель $b < 0$, то $a^b < a^0 = 1$.

2. Если основание $0 < a < 1$, функция является убывающей. Это означает, что если показатель $b > 0$, то $a^b < a^0 = 1$. Если же показатель $b < 0$, то $a^b > a^0 = 1$.

Применим эти правила для решения каждого из пунктов.

1) $2^{-2}$
Основание $a = 2 > 1$. Показатель $b = -2 < 0$. Так как основание больше единицы, а показатель отрицательный, значение выражения меньше единицы.
Проверка: $2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$. Действительно, $\frac{1}{4} < 1$.
Ответ: $2^{-2} < 1$.

2) $(0,013)^{-1}$
Основание $a = 0,013$. Так как $0 < 0,013 < 1$. Показатель $b = -1 < 0$. Так как основание меньше единицы, а показатель отрицательный, значение выражения больше единицы.
Проверка: $(0,013)^{-1} = \frac{1}{0,013} = \frac{1000}{13}$. Так как $1000 > 13$, дробь $\frac{1000}{13} > 1$.
Ответ: $(0,013)^{-1} > 1$.

3) $(\frac{2}{7})^5$
Основание $a = \frac{2}{7}$. Так как $0 < \frac{2}{7} < 1$. Показатель $b = 5 > 0$. Так как основание меньше единицы, а показатель положительный, значение выражения меньше единицы.
Ответ: $(\frac{2}{7})^5 < 1$.

4) $27^{1,5}$
Основание $a = 27 > 1$. Показатель $b = 1,5 > 0$. Так как основание больше единицы, а показатель положительный, значение выражения больше единицы.
Ответ: $27^{1,5} > 1$.

5) $2^{-\sqrt{5}}$
Основание $a = 2 > 1$. Показатель $b = -\sqrt{5}$. Так как $\sqrt{5} > 0$, то $b = -\sqrt{5} < 0$. Поскольку основание больше единицы, а показатель отрицательный, значение выражения меньше единицы.
Ответ: $2^{-\sqrt{5}} < 1$.

6) $(\frac{1}{2})^{\sqrt{3}}$
Основание $a = \frac{1}{2}$. Так как $0 < \frac{1}{2} < 1$. Показатель $b = \sqrt{3} > 0$. Поскольку основание меньше единицы, а показатель положительный, значение выражения меньше единицы.
Ответ: $(\frac{1}{2})^{\sqrt{3}} < 1$.

7) $(\frac{\pi}{4})^{\sqrt{5}-2}$
Сначала определим основание: $a = \frac{\pi}{4}$. Зная, что $\pi \approx 3,14$, получаем, что $\pi < 4$, значит $a = \frac{\pi}{4} < 1$. Основание находится в интервале $0 < a < 1$.
Теперь определим знак показателя: $b = \sqrt{5}-2$. Сравним $\sqrt{5}$ и $2$. Так как $5 > 4$, то $\sqrt{5} > \sqrt{4} = 2$. Следовательно, показатель $b = \sqrt{5}-2 > 0$.
Поскольку основание меньше единицы, а показатель положительный, значение выражения меньше единицы.
Ответ: $(\frac{\pi}{4})^{\sqrt{5}-2} < 1$.

8) $(\frac{1}{3})^{\sqrt{8}-3}$
Основание $a = \frac{1}{3}$. Так как $0 < \frac{1}{3} < 1$.
Теперь определим знак показателя: $b = \sqrt{8}-3$. Сравним $\sqrt{8}$ и $3$. Так как $8 < 9$, то $\sqrt{8} < \sqrt{9} = 3$. Следовательно, показатель $b = \sqrt{8}-3 < 0$.
Поскольку основание меньше единицы, а показатель отрицательный, значение выражения больше единицы.
Ответ: $(\frac{1}{3})^{\sqrt{8}-3} > 1$.

486. Упростить выражение:

1) $x^{\sqrt{3}} \cdot x^{1-\sqrt{3}};

2) $a^{1-\sqrt{2}} \cdot a^{\sqrt{2}+1};

3) $(b^{\sqrt{5}})^{\sqrt{5}} : b^2$.

1) $x^{\sqrt{3}} \cdot x^{1-\sqrt{3}}$

Для упрощения данного выражения воспользуемся свойством степеней: при умножении степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются, а основание остается прежним. Формула выглядит так: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Применим это свойство к нашему выражению, где основание $x$, а показатели степеней – $\sqrt{3}$ и $1-\sqrt{3}$.

$x^{\sqrt{3}} \cdot x^{1-\sqrt{3}} = x^{\sqrt{3} + (1-\sqrt{3})}$

Сложим показатели в степени:

$\sqrt{3} + 1 - \sqrt{3} = 1$

Таким образом, выражение упрощается до $x^1$ или просто $x$.

Ответ: $x$.

2) $a^{1-\sqrt{2}} \cdot a^{\sqrt{2}+1}$

Как и в предыдущем примере, используем свойство умножения степеней с одинаковыми основаниями: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

В данном случае основание равно $a$, а показатели – $1-\sqrt{2}$ и $\sqrt{2}+1$.

$a^{1-\sqrt{2}} \cdot a^{\sqrt{2}+1} = a^{(1-\sqrt{2}) + (\sqrt{2}+1)}$

Теперь сложим показатели степени:

$1 - \sqrt{2} + \sqrt{2} + 1 = 1 + 1 = 2$

В результате получаем $a^2$.

Ответ: $a^2$.

3) $(b^{\sqrt{5}})^{\sqrt{5}} : b^2$

Это выражение требует применения двух свойств степеней. Сначала упростим первую часть $(b^{\sqrt{5}})^{\sqrt{5}}$, используя свойство возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

Применим это правило:

$(b^{\sqrt{5}})^{\sqrt{5}} = b^{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = b^{(\sqrt{5})^2} = b^5$

Теперь исходное выражение принимает вид $b^5 : b^2$.

Далее используем свойство деления степеней с одинаковыми основаниями: $a^m : a^n = a^{m-n}$.

Применим это правило к выражению $b^5 : b^2$:

$b^5 : b^2 = b^{5-2} = b^3$

Ответ: $b^3$.

487. Сравнить числа:

1) $\sqrt[3]{3}$ и $\sqrt[3]{4}$;

2) $\sqrt[6]{5}$ и $\sqrt[6]{7}$.

1) Чтобы сравнить числа $\sqrt[3]{3}$ и $\sqrt[3]{4}$, нужно воспользоваться свойством степенной функции. Функция $y = \sqrt[n]{x}$ (корень n-ой степени) при натуральном $n > 1$ является возрастающей на своей области определения. В данном случае мы имеем дело с кубическими корнями, то есть $n=3$. Функция $y = \sqrt[3]{x}$ возрастает для всех действительных чисел. Это означает, что если одно подкоренное выражение больше другого, то и корень из него будет больше.
Сравним подкоренные выражения: $3$ и $4$.
Очевидно, что $3 < 4$.
Так как функция кубического корня является возрастающей, то из неравенства $3 < 4$ следует неравенство $\sqrt[3]{3} < \sqrt[3]{4}$.
Ответ: $\sqrt[3]{3} < \sqrt[3]{4}$.

2) Для сравнения чисел $\sqrt[6]{5}$ и $\sqrt[6]{7}$ применяется тот же подход, что и в первом пункте. Мы сравниваем корни одинаковой степени, в данном случае шестой ($n=6$). Функция $y = \sqrt[6]{x}$ является возрастающей для всех неотрицательных чисел ($x \ge 0$). Следовательно, большему подкоренному выражению будет соответствовать большее значение корня.
Сравним подкоренные выражения: $5$ и $7$.
Очевидно, что $5 < 7$.
Поскольку функция корня шестой степени является возрастающей, из неравенства $5 < 7$ следует, что $\sqrt[6]{5} < \sqrt[6]{7}$.
Ответ: $\sqrt[6]{5} < \sqrt[6]{7}$.

488. Вычислить:

1) $(\frac{1}{16})^{-0.75} + 810000^{0.25} - \left(7\frac{19}{32}\right)^{\frac{1}{5}};$

2) $(0.001)^{-\frac{1}{3}} - 2^{-2} \cdot 64^{\frac{2}{3}} - 8^{-1\frac{1}{3}};$

3) $27^{\frac{2}{3}} - (-2)^{-2} + \left(3\frac{3}{8}\right)^{-\frac{1}{3}};$

4) $(-0.5)^{-4} - 625^{0.25} - \left(2\frac{1}{4}\right)^{-1\frac{1}{2}}.$

1) Решим выражение $(\frac{1}{16})^{-0,75} + 810000^{0,25} - (7\frac{19}{32})^{\frac{1}{5}}$.
Вычислим значение каждого слагаемого по отдельности.
Первое слагаемое: $(\frac{1}{16})^{-0,75}$. Преобразуем десятичную степень в дробь: $-0,75 = -\frac{3}{4}$.
$(\frac{1}{16})^{-\frac{3}{4}} = (16^{\frac{1}{4}})^3 = (\sqrt[4]{16})^3 = 2^3 = 8$.
Второе слагаемое: $810000^{0,25}$. Преобразуем степень: $0,25 = \frac{1}{4}$.
$810000^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{810000} = \sqrt[4]{81 \cdot 10000} = \sqrt[4]{3^4 \cdot 10^4} = \sqrt[4]{(30)^4} = 30$.
Третье слагаемое: $(7\frac{19}{32})^{\frac{1}{5}}$. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $7\frac{19}{32} = \frac{7 \cdot 32 + 19}{32} = \frac{224+19}{32} = \frac{243}{32}$.
$(\frac{243}{32})^{\frac{1}{5}} = \sqrt[5]{\frac{243}{32}} = \frac{\sqrt[5]{243}}{\sqrt[5]{32}} = \frac{3}{2}$.
Теперь сложим и вычтем полученные значения:
$8 + 30 - \frac{3}{2} = 38 - 1,5 = 36,5$.
Ответ: 36,5.

2) Решим выражение $(0,001)^{-\frac{1}{3}} - 2^{-2} \cdot 64^{\frac{2}{3}} - 8^{-1\frac{1}{3}}$.
Вычислим значение каждого члена выражения.
Первый член: $(0,001)^{-\frac{1}{3}} = (\frac{1}{1000})^{-\frac{1}{3}} = (1000)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{1000} = 10$.
Второй член: $2^{-2} \cdot 64^{\frac{2}{3}} = \frac{1}{2^2} \cdot (\sqrt[3]{64})^2 = \frac{1}{4} \cdot 4^2 = \frac{1}{4} \cdot 16 = 4$.
Третий член: $8^{-1\frac{1}{3}} = 8^{-\frac{4}{3}} = (8^{\frac{1}{3}})^{-4} = (\sqrt[3]{8})^{-4} = 2^{-4} = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16}$.
Теперь выполним вычитание:
$10 - 4 - \frac{1}{16} = 6 - \frac{1}{16} = 5\frac{15}{16}$.
Ответ: $5\frac{15}{16}$.

3) Решим выражение $27^{\frac{2}{3}} - (-2)^{-2} + (3\frac{3}{8})^{-\frac{1}{3}}$.
Вычислим значение каждого члена выражения.
Первый член: $27^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{27})^2 = 3^2 = 9$.
Второй член: $(-2)^{-2} = \frac{1}{(-2)^2} = \frac{1}{4}$.
Третий член: $(3\frac{3}{8})^{-\frac{1}{3}}$. Преобразуем смешанное число: $3\frac{3}{8} = \frac{27}{8}$.
$(\frac{27}{8})^{-\frac{1}{3}} = (\frac{8}{27})^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{\frac{8}{27}} = \frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{2}{3}$.
Теперь выполним действия:
$9 - \frac{1}{4} + \frac{2}{3}$. Приведем дроби к общему знаменателю 12.
$9 - \frac{3}{12} + \frac{8}{12} = 9 + \frac{5}{12} = 9\frac{5}{12}$.
Ответ: $9\frac{5}{12}$.

4) Решим выражение $(-0,5)^{-4} - 625^{0,25} - (2\frac{1}{4})^{-1\frac{1}{2}}$.
Вычислим значение каждого члена выражения.
Первый член: $(-0,5)^{-4} = (-\frac{1}{2})^{-4} = (-2)^4 = 16$.
Второй член: $625^{0,25} = 625^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{625} = 5$.
Третий член: $(2\frac{1}{4})^{-1\frac{1}{2}}$. Преобразуем основание и показатель степени.
$2\frac{1}{4} = \frac{9}{4}$; $-1\frac{1}{2} = -\frac{3}{2}$.
$(\frac{9}{4})^{-\frac{3}{2}} = (\frac{4}{9})^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{\frac{4}{9}})^3 = (\frac{2}{3})^3 = \frac{8}{27}$.
Теперь выполним вычитание:
$16 - 5 - \frac{8}{27} = 11 - \frac{8}{27} = 10\frac{27-8}{27} = 10\frac{19}{27}$.
Ответ: $10\frac{19}{27}$.

Упростить выражение (489—490).

489. 1) $(a^4)^{-\frac{3}{4}} \cdot (b^{-\frac{2}{3}})^{-6}$;

2) $\left( \left( \frac{a^6}{b^{-3}} \right)^4 \right)^{\frac{1}{12}}$.

1)

Дано выражение: $(a^4)^{-\frac{3}{4}} \cdot (b^{-\frac{2}{3}})^{-6}$.

Для упрощения этого выражения воспользуемся свойством возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$ для каждого множителя.

Упростим первый множитель:
$(a^4)^{-\frac{3}{4}} = a^{4 \cdot (-\frac{3}{4})} = a^{-3}$.

Упростим второй множитель:
$(b^{-\frac{2}{3}})^{-6} = b^{(-\frac{2}{3}) \cdot (-6)} = b^{\frac{12}{3}} = b^4$.

Теперь перемножим полученные результаты:
$a^{-3} \cdot b^4$.

Используя свойство степени с отрицательным показателем $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$, можем переписать выражение в виде дроби:
$a^{-3} \cdot b^4 = \frac{1}{a^3} \cdot b^4 = \frac{b^4}{a^3}$.

Ответ: $\frac{b^4}{a^3}$.

2)

Дано выражение: $\left( \left( \frac{a^6}{b^{-3}} \right)^4 \right)^{\frac{1}{12}}$.

Для упрощения воспользуемся свойством возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$. В нашем случае выражение можно представить как $((X)^m)^n = X^{m \cdot n}$. Перемножим внешние показатели степени:

$4 \cdot \frac{1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.

Теперь выражение имеет вид:
$\left( \frac{a^6}{b^{-3}} \right)^{\frac{1}{3}}$.

Далее применим свойство возведения дроби в степень $(\frac{x}{y})^n = \frac{x^n}{y^n}$:
$\frac{(a^6)^{\frac{1}{3}}}{(b^{-3})^{\frac{1}{3}}}$.

Снова применим свойство $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$ к числителю и знаменателю:
Для числителя: $(a^6)^{\frac{1}{3}} = a^{6 \cdot \frac{1}{3}} = a^2$.
Для знаменателя: $(b^{-3})^{\frac{1}{3}} = b^{-3 \cdot \frac{1}{3}} = b^{-1}$.

Таким образом, выражение упрощается до:
$\frac{a^2}{b^{-1}}$.

Используя свойство степени с отрицательным показателем в знаменателе $\frac{1}{x^{-n}} = x^n$, получаем окончательный результат:
$\frac{a^2}{b^{-1}} = a^2 b^1 = a^2b$.

Ответ: $a^2b$.