Номер 481, страница 163 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

481. 1) $2^{2-3\sqrt{5}} \cdot 8^{\sqrt{5}}$;

2) $5^{1+2\sqrt[3]{2}} : 25^{\sqrt[3]{2}}$;

3) $(3^{1+\sqrt{2}})^{1-\sqrt{2}}$;

4) $(7^{1-\sqrt{5}})^{1+\sqrt{5}} - (\sqrt{7})^0$.

1) Для решения примера $2^{2-3\sqrt{5}} \cdot 8^{\sqrt{5}}$ представим число 8 как степень двойки: $8 = 2^3$.
Выражение примет вид: $2^{2-3\sqrt{5}} \cdot (2^3)^{\sqrt{5}}$.
Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получим: $2^{2-3\sqrt{5}} \cdot 2^{3\sqrt{5}}$.
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):
$2^{(2-3\sqrt{5}) + 3\sqrt{5}} = 2^{2-3\sqrt{5}+3\sqrt{5}} = 2^2$.
$2^2 = 4$.
Ответ: 4

2) Для решения примера $5^{1+2\sqrt[3]{2}} : 25^{\sqrt[3]{2}}$ представим число 25 как степень пятерки: $25 = 5^2$.
Выражение примет вид: $5^{1+2\sqrt[3]{2}} : (5^2)^{\sqrt[3]{2}}$.
Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получим: $5^{1+2\sqrt[3]{2}} : 5^{2\sqrt[3]{2}}$.
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($a^m : a^n = a^{m-n}$):
$5^{(1+2\sqrt[3]{2}) - 2\sqrt[3]{2}} = 5^{1+2\sqrt[3]{2}-2\sqrt[3]{2}} = 5^1$.
$5^1 = 5$.
Ответ: 5

3) В выражении $(3^{1+\sqrt{2}})^{1-\sqrt{2}}$ воспользуемся свойством возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$.
Показатели степеней перемножаются: $3^{(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})}$.
В показателе степени мы видим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$, где $a=1$ и $b=\sqrt{2}$.
$(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2}) = 1^2 - (\sqrt{2})^2 = 1 - 2 = -1$.
Таким образом, выражение упрощается до $3^{-1}$.
Используя свойство отрицательной степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем: $3^{-1} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$

4) Выражение $(7^{1-\sqrt{5}})^{1+\sqrt{5}} - (\sqrt{7})^0$ состоит из двух частей. Решим их по очереди.
Первая часть: $(7^{1-\sqrt{5}})^{1+\sqrt{5}}$.
Используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$: $7^{(1-\sqrt{5})(1+\sqrt{5})}$.
Применяем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$, где $a=1$ и $b=\sqrt{5}$.
$(1-\sqrt{5})(1+\sqrt{5}) = 1^2 - (\sqrt{5})^2 = 1 - 5 = -4$.
Получаем $7^{-4}$.
Вторая часть: $(\sqrt{7})^0$.
Любое ненулевое число в степени 0 равно 1, поэтому $(\sqrt{7})^0 = 1$.
Теперь вычтем вторую часть из первой: $7^{-4} - 1$.
$7^{-4} = \frac{1}{7^4} = \frac{1}{2401}$.
$\frac{1}{2401} - 1 = \frac{1}{2401} - \frac{2401}{2401} = \frac{1-2401}{2401} = -\frac{2400}{2401}$.
Ответ: $-\frac{2400}{2401}$