Номер 475, страница 162 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

475. Вынести общий множитель за скобки:

1) $x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{2}{3}}$;

2) $(ab)^3 + (ac)^{\frac{1}{3}}$;

3) $y^{\frac{3}{4}} - y^{\frac{2}{3}}$;

4) $12xy^{\frac{1}{2}} - 4x^{\frac{1}{2}}y$.

1) Чтобы вынести общий множитель за скобки в выражении $x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{2}{3}}$, нужно найти переменную с наименьшим показателем степени. Сравниваем показатели $\frac{1}{3}$ и $\frac{2}{3}$. Наименьший показатель – $\frac{1}{3}$, следовательно, общий множитель – это $x^{\frac{1}{3}}$.
Разделим каждый член выражения на $x^{\frac{1}{3}}$:
$x^{\frac{1}{3}} \div x^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{1}{3}-\frac{1}{3}} = x^0 = 1$
$x^{\frac{2}{3}} \div x^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{2}{3}-\frac{1}{3}} = x^{\frac{1}{3}}$
Получаем выражение: $x^{\frac{1}{3}}(1 + x^{\frac{1}{3}})$.
Ответ: $x^{\frac{1}{3}}(1 + x^{\frac{1}{3}})$

2) В выражении $(ab)^{\frac{1}{3}} + (ac)^{\frac{1}{3}}$ сначала применим свойство степени произведения $(xy)^n = x^ny^n$ к каждому слагаемому:
$(ab)^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}$
$(ac)^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{1}{3}}c^{\frac{1}{3}}$
Исходное выражение примет вид: $a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{3}}c^{\frac{1}{3}}$.
Общим множителем для обоих слагаемых является $a^{\frac{1}{3}}$. Вынесем его за скобки:
$a^{\frac{1}{3}}(b^{\frac{1}{3}} + c^{\frac{1}{3}})$.
Ответ: $a^{\frac{1}{3}}(b^{\frac{1}{3}} + c^{\frac{1}{3}})$

3) В выражении $y^{\frac{3}{4}} - y^{\frac{2}{3}}$ общим множителем будет переменная $y$ в наименьшей степени. Сравним показатели степени $\frac{3}{4}$ и $\frac{2}{3}$. Для этого приведем дроби к общему знаменателю 12:
$\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$
$\frac{2}{3} = \frac{8}{12}$
Так как $\frac{8}{12} < \frac{9}{12}$, то наименьшая степень – это $\frac{2}{3}$. Общий множитель – $y^{\frac{2}{3}}$.
Вынесем $y^{\frac{2}{3}}$ за скобки, разделив на него каждый член выражения:
$y^{\frac{3}{4}} \div y^{\frac{2}{3}} = y^{\frac{3}{4}-\frac{2}{3}} = y^{\frac{9}{12}-\frac{8}{12}} = y^{\frac{1}{12}}$
$y^{\frac{2}{3}} \div y^{\frac{2}{3}} = y^{\frac{2}{3}-\frac{2}{3}} = y^0 = 1$
Получаем: $y^{\frac{2}{3}}(y^{\frac{1}{12}} - 1)$.
Ответ: $y^{\frac{2}{3}}(y^{\frac{1}{12}} - 1)$

4) В выражении $12xy^{\frac{1}{2}} - 4x^{\frac{1}{2}}y$ найдем общий множитель по частям.
1. Для коэффициентов 12 и 4 наибольший общий делитель (НОД) равен 4.
2. Для переменной $x$ имеем степени 1 и $\frac{1}{2}$. Наименьшая степень – $\frac{1}{2}$, значит, общий множитель для $x$ – это $x^{\frac{1}{2}}$.
3. Для переменной $y$ имеем степени $\frac{1}{2}$ и 1. Наименьшая степень – $\frac{1}{2}$, значит, общий множитель для $y$ – это $y^{\frac{1}{2}}$.
Таким образом, общий множитель всего выражения – $4x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}$.
Вынесем его за скобки:
$4x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} \left( \frac{12xy^{\frac{1}{2}}}{4x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}} - \frac{4x^{\frac{1}{2}}y}{4x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}} \right) = 4x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}(3x^{1-\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}y^{1-\frac{1}{2}}) = 4x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}(3x^{\frac{1}{2}}y^0 - x^0y^{\frac{1}{2}})$.
Так как любое число в нулевой степени равно 1, получаем:
$4x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}(3x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})$.
Ответ: $4x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}(3x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})$