Номер 476, страница 162 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

476. Пользуясь тождеством $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$, разложить на множители:

1) $a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}};$

2) $y^{\frac{2}{3}} - 1;$

3) $a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}};$

4) $x - y;$

5) $4a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}};$

6) $0,01m^{\frac{1}{6}} - n^{\frac{1}{6}}.$

Для решения всех задач воспользуемся тождеством разности квадратов $A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$. Для этого необходимо каждый член в заданных выражениях представить в виде квадрата некоторого другого выражения.

1) Чтобы разложить на множители выражение $a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}$, представим каждый его член в виде квадрата. Используя свойство степеней $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$, получаем:

$a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{4} \cdot 2} = (a^{\frac{1}{4}})^2$

$b^{\frac{1}{2}} = b^{\frac{1}{4} \cdot 2} = (b^{\frac{1}{4}})^2$

Теперь исходное выражение можно записать как разность квадратов:

$a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}} = (a^{\frac{1}{4}})^2 - (b^{\frac{1}{4}})^2$

Применим формулу разности квадратов, где $A = a^{\frac{1}{4}}$ и $B = b^{\frac{1}{4}}$:

$(a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{4}})(a^{\frac{1}{4}} - b^{\frac{1}{4}})$

Ответ: $(a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{4}})(a^{\frac{1}{4}} - b^{\frac{1}{4}})$

2) Разложим на множители выражение $y^{\frac{2}{3}} - 1$.

Представим первый член в виде квадрата:

$y^{\frac{2}{3}} = y^{\frac{1}{3} \cdot 2} = (y^{\frac{1}{3}})^2$

Второй член также является квадратом:

$1 = 1^2$

Таким образом, получаем разность квадратов:

$y^{\frac{2}{3}} - 1 = (y^{\frac{1}{3}})^2 - 1^2$

Применим формулу, где $A = y^{\frac{1}{3}}$ и $B = 1$:

$(y^{\frac{1}{3}} + 1)(y^{\frac{1}{3}} - 1)$

Ответ: $(y^{\frac{1}{3}} + 1)(y^{\frac{1}{3}} - 1)$

3) Разложим на множители выражение $a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}$.

Представим каждый член в виде квадрата:

$a^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{1}{6} \cdot 2} = (a^{\frac{1}{6}})^2$

$b^{\frac{1}{3}} = b^{\frac{1}{6} \cdot 2} = (b^{\frac{1}{6}})^2$

Выражение принимает вид разности квадратов:

$a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}} = (a^{\frac{1}{6}})^2 - (b^{\frac{1}{6}})^2$

Применим формулу, где $A = a^{\frac{1}{6}}$ и $B = b^{\frac{1}{6}}$:

$(a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}})(a^{\frac{1}{6}} - b^{\frac{1}{6}})$

Ответ: $(a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}})(a^{\frac{1}{6}} - b^{\frac{1}{6}})$

4) Разложим на множители выражение $x - y$.

Представим каждую переменную как квадрат ее квадратного корня. Напомним, что $\sqrt{z} = z^{\frac{1}{2}}$.

$x = (x^{\frac{1}{2}})^2$

$y = (y^{\frac{1}{2}})^2$

Выражение принимает вид разности квадратов:

$x - y = (x^{\frac{1}{2}})^2 - (y^{\frac{1}{2}})^2$

Применим формулу разности квадратов:

$(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})$

Ответ: $(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})$

5) Разложим на множители выражение $4a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}$.

Представим каждый член в виде квадрата:

Первый член: $4a^{\frac{1}{2}} = 2^2 \cdot (a^{\frac{1}{4}})^2 = (2a^{\frac{1}{4}})^2$.

Второй член: $b^{\frac{1}{2}} = (b^{\frac{1}{4}})^2$.

Получаем выражение в виде разности квадратов:

$(2a^{\frac{1}{4}})^2 - (b^{\frac{1}{4}})^2$

Применяем формулу, где $A = 2a^{\frac{1}{4}}$ и $B = b^{\frac{1}{4}}$:

$(2a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{4}})(2a^{\frac{1}{4}} - b^{\frac{1}{4}})$

Ответ: $(2a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{4}})(2a^{\frac{1}{4}} - b^{\frac{1}{4}})$

6) Разложим на множители выражение $0,01m^{\frac{1}{6}} - n^{\frac{1}{6}}$.

Представим каждый член в виде квадрата:

Первый член: $0,01m^{\frac{1}{6}} = (0,1)^2 \cdot (m^{\frac{1}{12}})^2 = (0,1m^{\frac{1}{12}})^2$.

Второй член: $n^{\frac{1}{6}} = (n^{\frac{1}{12}})^2$.

Выражение принимает вид разности квадратов:

$(0,1m^{\frac{1}{12}})^2 - (n^{\frac{1}{12}})^2$

Применяем формулу, где $A = 0,1m^{\frac{1}{12}}$ и $B = n^{\frac{1}{12}}$:

$(0,1m^{\frac{1}{12}} + n^{\frac{1}{12}})(0,1m^{\frac{1}{12}} - n^{\frac{1}{12}})$

Ответ: $(0,1m^{\frac{1}{12}} + n^{\frac{1}{12}})(0,1m^{\frac{1}{12}} - n^{\frac{1}{12}})$