Номер 474, страница 162 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

474. Представить в виде степени с рациональным показателем:

1) $a^{\frac{1}{3}} \cdot \sqrt{a}$;

2) $b^{\frac{1}{2}} \cdot b^{\frac{1}{3}} \cdot \sqrt[6]{b}$;

3) $\sqrt[3]{b} : b^{\frac{1}{6}}$;

4) $a^{\frac{4}{3}} : \sqrt[3]{a}$.

1) Чтобы представить выражение $a^{\frac{1}{3}} \cdot \sqrt{a}$ в виде степени с рациональным показателем, сначала запишем корень в виде степени: $\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}$. Теперь выражение имеет вид: $a^{\frac{1}{3}} \cdot a^{\frac{1}{2}}$. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются по правилу $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$. Сложим показатели: $\frac{1}{3} + \frac{1}{2}$. Для этого приведем дроби к общему знаменателю 6: $\frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{5}{6}$. Таким образом, итоговое выражение равно $a^{\frac{5}{6}}$.
Ответ: $a^{\frac{5}{6}}$

2) Рассмотрим выражение $b^{\frac{1}{2}} \cdot b^{\frac{1}{3}} \cdot \sqrt[6]{b}$. Представим корень шестой степени в виде степени с рациональным показателем: $\sqrt[6]{b} = b^{\frac{1}{6}}$. Выражение примет вид: $b^{\frac{1}{2}} \cdot b^{\frac{1}{3}} \cdot b^{\frac{1}{6}}$. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются. Сложим показатели: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}$. Общий знаменатель для дробей равен 6. Приведем дроби к нему: $\frac{3}{6} + \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3+2+1}{6} = \frac{6}{6} = 1$. В результате получаем $b^1$, что равно $b$.
Ответ: $b$

3) Рассмотрим выражение $\sqrt[3]{b} : b^{\frac{1}{6}}$. Сначала представим кубический корень в виде степени: $\sqrt[3]{b} = b^{\frac{1}{3}}$. Выражение принимает вид: $b^{\frac{1}{3}} : b^{\frac{1}{6}}$. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются по правилу $x^m : x^n = x^{m-n}$. Вычтем показатели: $\frac{1}{3} - \frac{1}{6}$. Приведем дроби к общему знаменателю 6: $\frac{2}{6} - \frac{1}{6} = \frac{1}{6}$. В результате получаем $b^{\frac{1}{6}}$.
Ответ: $b^{\frac{1}{6}}$

4) Рассмотрим выражение $a^{\frac{4}{3}} : \sqrt[3]{a}$. Представим кубический корень из $a$ в виде степени с рациональным показателем: $\sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}}$. Теперь выражение выглядит так: $a^{\frac{4}{3}} : a^{\frac{1}{3}}$. Используя правило деления степеней с одинаковым основанием, вычтем показатели: $\frac{4}{3} - \frac{1}{3}$. Так как знаменатели у дробей одинаковы, вычитаем числители: $\frac{4-1}{3} = \frac{3}{3} = 1$. Получаем $a^1$, что равно $a$.
Ответ: $a$