Номер 471, страница 162 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

471. 1) $9^{\frac{2}{5}} \cdot 27^{\frac{2}{5}}$

2) $7^{\frac{2}{3}} \cdot 49^{\frac{2}{3}}$

3) $144^{\frac{3}{4}} : 9^{\frac{3}{4}}$

4) $150^{\frac{3}{2}} : 6^{\frac{3}{2}}$

1) $9^{\frac{2}{5}} \cdot 27^{\frac{2}{5}}$. Поскольку показатели степеней одинаковы, воспользуемся свойством произведения степеней с одинаковыми показателями: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$. Получаем: $(9 \cdot 27)^{\frac{2}{5}} = 243^{\frac{2}{5}}$. Представим основание 243 как степень числа 3: $243 = 3^5$. Тогда выражение примет вид: $(3^5)^{\frac{2}{5}}$. По свойству возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем: $3^{5 \cdot \frac{2}{5}} = 3^2 = 9$. Ответ: 9

2) $7^{\frac{2}{3}} \cdot 49^{\frac{2}{3}}$. Используем свойство произведения степеней с одинаковыми показателями $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$. Получаем: $(7 \cdot 49)^{\frac{2}{3}}$. Так как $49 = 7^2$, то $7 \cdot 49 = 7 \cdot 7^2 = 7^3$. Выражение принимает вид: $(7^3)^{\frac{2}{3}}$. По свойству возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем: $7^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 7^2 = 49$. Ответ: 49

3) $144^{\frac{3}{4}} : 9^{\frac{3}{4}}$. Поскольку показатели степеней одинаковы, воспользуемся свойством частного степеней с одинаковыми показателями: $a^n : b^n = (a : b)^n$. Получаем: $(144 : 9)^{\frac{3}{4}}$. Вычислим частное в основании: $144 : 9 = 16$. Выражение принимает вид: $16^{\frac{3}{4}}$. Представим основание 16 как степень числа 2: $16 = 2^4$. Тогда получаем: $(2^4)^{\frac{3}{4}}$. По свойству возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, имеем: $2^{4 \cdot \frac{3}{4}} = 2^3 = 8$. Ответ: 8

4) $150^{\frac{3}{2}} : 6^{\frac{3}{2}}$. Используем свойство частного степеней с одинаковыми показателями: $a^n : b^n = (a : b)^n$. Получаем: $(150 : 6)^{\frac{3}{2}}$. Вычислим частное в основании: $150 : 6 = 25$. Выражение принимает вид: $25^{\frac{3}{2}}$. Представим основание 25 как степень числа 5: $25 = 5^2$. Тогда получаем: $(5^2)^{\frac{3}{2}}$. По свойству возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, имеем: $5^{2 \cdot \frac{3}{2}} = 5^3 = 125$. Ответ: 125