Номер 469, страница 162 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Вычислить (469—472).

469. 1) $16^{\frac{1}{2}}$; 2) $27^{\frac{2}{3}}$; 3) $8^{\frac{1}{3}}$; 4) $64^{\frac{2}{3}}$; 5) $16^{-0.75}$; 6) $9^{-1.5}$.

1)

Возведение числа в степень $\frac{1}{2}$ эквивалентно извлечению квадратного корня из этого числа.
$16^{\frac{1}{2}} = \sqrt{16} = 4$

Ответ: 4.

2)

Для вычисления выражения $27^{\frac{2}{3}}$ можно использовать свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Для этого представим основание 27 в виде степени числа 3: $27 = 3^3$.
$27^{\frac{2}{3}} = (3^3)^{\frac{2}{3}} = 3^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 3^2 = 9$
Альтернативный способ — использовать определение дробной степени $a^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n]{a})^m$.
$27^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{27})^2 = 3^2 = 9$

Ответ: 9.

3)

Возведение числа в степень $\frac{1}{3}$ эквивалентно извлечению кубического корня из этого числа.
$8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2$, так как $2^3 = 8$.

Ответ: 2.

4)

Представим основание 64 как $4^3$ и воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$64^{\frac{2}{3}} = (4^3)^{\frac{2}{3}} = 4^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 4^2 = 16$
Также можно представить 64 как $2^6$:
$64^{\frac{2}{3}} = (2^6)^{\frac{2}{3}} = 2^{6 \cdot \frac{2}{3}} = 2^4 = 16$

Ответ: 16.

5)

Сначала преобразуем десятичную степень в обыкновенную дробь: $-0,75 = -\frac{75}{100} = -\frac{3}{4}$.
Отрицательная степень означает, что нужно взять обратное число: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
$16^{-0,75} = 16^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{16^{\frac{3}{4}}}$
Теперь вычислим знаменатель. Представим 16 как $2^4$:
$16^{\frac{3}{4}} = (2^4)^{\frac{3}{4}} = 2^{4 \cdot \frac{3}{4}} = 2^3 = 8$
Следовательно, исходное выражение равно $\frac{1}{8}$.

Ответ: $\frac{1}{8}$.

6)

Преобразуем десятичную степень в обыкновенную дробь: $-1,5 = -\frac{15}{10} = -\frac{3}{2}$.
Используем правило отрицательной степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
$9^{-1,5} = 9^{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{9^{\frac{3}{2}}}$
Вычислим знаменатель. Представим 9 как $3^2$:
$9^{\frac{3}{2}} = (3^2)^{\frac{3}{2}} = 3^{2 \cdot \frac{3}{2}} = 3^3 = 27$
Таким образом, исходное выражение равно $\frac{1}{27}$.

Ответ: $\frac{1}{27}$.