Номер 462, страница 155 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

462. Сравнить значения выражений:

1) $\sqrt{3} + \sqrt[3]{30}$ и $\sqrt[3]{63};$

2) $\sqrt[3]{7} + \sqrt{15}$ и $\sqrt{10} + \sqrt[3]{28}.$

1) Сравнить $\sqrt{3} + \sqrt[3]{30}$ и $\sqrt[3]{63}$.

Для решения этой задачи сравним каждое из выражений с числом 4.

Рассмотрим выражение $\sqrt[3]{63}$.

Так как $63 < 64$, то $\sqrt[3]{63} < \sqrt[3]{64}$.

Поскольку $\sqrt[3]{64} = 4$, мы получаем, что $\sqrt[3]{63} < 4$.

Теперь рассмотрим выражение $\sqrt{3} + \sqrt[3]{30}$.

Оценим каждое слагаемое:

Так как $3 > 1$, то $\sqrt{3} > \sqrt{1}$, следовательно $\sqrt{3} > 1$.

Так как $30 > 27$, то $\sqrt[3]{30} > \sqrt[3]{27}$, следовательно $\sqrt[3]{30} > 3$.

Сложив эти два неравенства, получаем:

$\sqrt{3} + \sqrt[3]{30} > 1 + 3 = 4$.

Итак, мы установили, что $\sqrt{3} + \sqrt[3]{30} > 4$ и $\sqrt[3]{63} < 4$.

Следовательно, $\sqrt{3} + \sqrt[3]{30} > \sqrt[3]{63}$.

Ответ: $\sqrt{3} + \sqrt[3]{30} > \sqrt[3]{63}$.

2) Сравнить $\sqrt[3]{7} + \sqrt{15}$ и $\sqrt{10} + \sqrt[3]{28}$.

Для решения этой задачи сравним каждое из выражений с числом 6.

Рассмотрим первое выражение: $\sqrt[3]{7} + \sqrt{15}$.

Оценим каждое слагаемое:

Так как $7 < 8$, то $\sqrt[3]{7} < \sqrt[3]{8}$, что означает $\sqrt[3]{7} < 2$.

Так как $15 < 16$, то $\sqrt{15} < \sqrt{16}$, что означает $\sqrt{15} < 4$.

Складывая эти неравенства, получаем:

$\sqrt[3]{7} + \sqrt{15} < 2 + 4 = 6$.

Теперь рассмотрим второе выражение: $\sqrt{10} + \sqrt[3]{28}$.

Оценим каждое слагаемое:

Так как $10 > 9$, то $\sqrt{10} > \sqrt{9}$, что означает $\sqrt{10} > 3$.

Так как $28 > 27$, то $\sqrt[3]{28} > \sqrt[3]{27}$, что означает $\sqrt[3]{28} > 3$.

Складывая эти неравенства, получаем:

$\sqrt{10} + \sqrt[3]{28} > 3 + 3 = 6$.

Мы получили, что $\sqrt[3]{7} + \sqrt{15} < 6$ и $\sqrt{10} + \sqrt[3]{28} > 6$.

Из этого следует, что $\sqrt[3]{7} + \sqrt{15} < \sqrt{10} + \sqrt[3]{28}$.

Ответ: $\sqrt[3]{7} + \sqrt{15} < \sqrt{10} + \sqrt[3]{28}$.