Номер 458, страница 154 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

458. Вычислить:

1) $\frac{\sqrt[3]{7} \cdot \sqrt[4]{343}}{\sqrt[12]{7}}$

2) $(\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4})(\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{2})$

1) Для решения этого примера представим все корни в виде степеней с рациональными показателями, используя свойство $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$.
Сначала заметим, что $343$ — это $7$ в третьей степени, то есть $343 = 7^3$.
Теперь перепишем исходное выражение:
$\frac{\sqrt[3]{7} \cdot \sqrt[4]{343}}{\sqrt[12]{7}} = \frac{7^{\frac{1}{3}} \cdot \sqrt[4]{7^3}}{7^{\frac{1}{12}}} = \frac{7^{\frac{1}{3}} \cdot 7^{\frac{3}{4}}}{7^{\frac{1}{12}}}$
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^x \cdot a^y = a^{x+y}$), а при делении — вычитаются ($\frac{a^x}{a^y} = a^{x-y}$).
Вычислим показатель степени в числителе:
$\frac{1}{3} + \frac{3}{4} = \frac{4}{12} + \frac{9}{12} = \frac{13}{12}$
Таким образом, числитель равен $7^{\frac{13}{12}}$.
Теперь выполним деление:
$\frac{7^{\frac{13}{12}}}{7^{\frac{1}{12}}} = 7^{\frac{13}{12} - \frac{1}{12}} = 7^{\frac{12}{12}} = 7^1 = 7$
Ответ: 7

2) Это выражение можно упростить, используя формулу сокращенного умножения для разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
Давайте определим $a$ и $b$ из второй скобки $(\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{2})$. Пусть $a = \sqrt[3]{3}$ и $b = \sqrt[3]{2}$.
Теперь проверим, соответствует ли первая скобка $(\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4})$ выражению $(a^2 + ab + b^2)$.
Вычислим $a^2$, $ab$ и $b^2$:
$a^2 = (\sqrt[3]{3})^2 = \sqrt[3]{3^2} = \sqrt[3]{9}$
$ab = \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{3 \cdot 2} = \sqrt[3]{6}$
$b^2 = (\sqrt[3]{2})^2 = \sqrt[3]{2^2} = \sqrt[3]{4}$
Как видим, первая скобка в точности равна $(a^2 + ab + b^2)$.
Следовательно, мы можем применить формулу разности кубов:
$(\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4})(\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{2}) = (\sqrt[3]{3})^3 - (\sqrt[3]{2})^3 = 3 - 2 = 1$
Ответ: 1