Номер 454, страница 154 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Вычислить (454–455).

454.

1) $\sqrt{9+\sqrt{17}} \cdot \sqrt{9-\sqrt{17}};$

2) $(\sqrt{3+\sqrt{5}}-\sqrt{3-\sqrt{5}})^2;$

3) $(\sqrt{5+\sqrt{21}}+\sqrt{5-\sqrt{21}})^2.$

1) Для вычисления выражения $\sqrt{9+\sqrt{17}} \cdot \sqrt{9-\sqrt{17}}$ воспользуемся свойством произведения корней: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$.
$\sqrt{9+\sqrt{17}} \cdot \sqrt{9-\sqrt{17}} = \sqrt{(9+\sqrt{17})(9-\sqrt{17})}$.
Выражение в скобках представляет собой формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$, где $a=9$ и $b=\sqrt{17}$.
$\sqrt{9^2 - (\sqrt{17})^2} = \sqrt{81-17} = \sqrt{64} = 8$.
Ответ: 8

2) Для вычисления выражения $(\sqrt{3+\sqrt{5}} - \sqrt{3-\sqrt{5}})^2$ используем формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Пусть $a = \sqrt{3+\sqrt{5}}$ и $b = \sqrt{3-\sqrt{5}}$.
Тогда $a^2 = (\sqrt{3+\sqrt{5}})^2 = 3+\sqrt{5}$.
$b^2 = (\sqrt{3-\sqrt{5}})^2 = 3-\sqrt{5}$.
$2ab = 2 \cdot \sqrt{3+\sqrt{5}} \cdot \sqrt{3-\sqrt{5}} = 2\sqrt{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})}$.
Применяя формулу разности квадратов под корнем, получаем:
$2\sqrt{3^2 - (\sqrt{5})^2} = 2\sqrt{9-5} = 2\sqrt{4} = 2 \cdot 2 = 4$.
Теперь подставим все части в исходную формулу:
$a^2 - 2ab + b^2 = (3+\sqrt{5}) - 4 + (3-\sqrt{5}) = 3 + \sqrt{5} - 4 + 3 - \sqrt{5} = (3+3-4) + (\sqrt{5}-\sqrt{5}) = 2$.
Ответ: 2

3) Для вычисления выражения $(\sqrt{5+\sqrt{21}} + \sqrt{5-\sqrt{21}})^2$ используем формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Пусть $a = \sqrt{5+\sqrt{21}}$ и $b = \sqrt{5-\sqrt{21}}$.
Тогда $a^2 = (\sqrt{5+\sqrt{21}})^2 = 5+\sqrt{21}$.
$b^2 = (\sqrt{5-\sqrt{21}})^2 = 5-\sqrt{21}$.
$2ab = 2 \cdot \sqrt{5+\sqrt{21}} \cdot \sqrt{5-\sqrt{21}} = 2\sqrt{(5+\sqrt{21})(5-\sqrt{21})}$.
Применяя формулу разности квадратов под корнем, получаем:
$2\sqrt{5^2 - (\sqrt{21})^2} = 2\sqrt{25-21} = 2\sqrt{4} = 2 \cdot 2 = 4$.
Теперь подставим все части в исходную формулу:
$a^2 + 2ab + b^2 = (5+\sqrt{21}) + 4 + (5-\sqrt{21}) = 5 + \sqrt{21} + 4 + 5 - \sqrt{21} = (5+4+5) + (\sqrt{21}-\sqrt{21}) = 14$.
Ответ: 14