Номер 448, страница 153 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

448. 1) $ \sqrt[4]{324} : \sqrt[4]{4} $

2) $ \sqrt[3]{128} : \sqrt[3]{2000} $

3) $ \frac{\sqrt[3]{16}}{\sqrt[3]{2}} $

4) $ \frac{\sqrt[5]{256}}{\sqrt[5]{8}} $

5) $ (\sqrt{25} - \sqrt{45}) : \sqrt{5} $

6) $ (\sqrt[3]{625} - \sqrt[3]{5}) : \sqrt[3]{5} $

1) Для решения этого примера воспользуемся свойством частного корней одинаковой степени: $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$.
Применяем это свойство к нашему выражению:
$\sqrt[4]{324} : \sqrt[4]{4} = \sqrt[4]{\frac{324}{4}} = \sqrt[4]{81}$.
Чтобы найти корень четвертой степени из 81, нужно найти число, которое при возведении в четвертую степень дает 81. Таким числом является 3, поскольку $3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$.
Следовательно, $\sqrt[4]{81} = 3$.
Ответ: 3

2) Аналогично первому примеру, используем свойство частного корней: $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$.
$\sqrt[3]{128} : \sqrt[3]{2000} = \sqrt[3]{\frac{128}{2000}}$.
Сократим дробь под знаком корня. Разделим числитель и знаменатель на их общий делитель. Например, на 8: $128 : 8 = 16$, $2000 : 8 = 250$. Получаем $\frac{16}{250}$. Разделим еще на 2: $16 : 2 = 8$, $250 : 2 = 125$. Получаем дробь $\frac{8}{125}$.
Теперь наше выражение выглядит так: $\sqrt[3]{\frac{8}{125}}$.
Используем свойство корня из дроби $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$:
$\sqrt[3]{\frac{8}{125}} = \frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{125}} = \frac{2}{5}$, так как $2^3 = 8$ и $5^3 = 125$.
Ответ: $\frac{2}{5}$

3) Данное выражение является дробью, где числитель и знаменатель — корни одной и той же (третьей) степени. Применяем свойство частного корней: $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$.
$\frac{\sqrt[3]{16}}{\sqrt[3]{2}} = \sqrt[3]{\frac{16}{2}} = \sqrt[3]{8}$.
Так как $2^3 = 8$, то $\sqrt[3]{8} = 2$.
Ответ: 2

4) Этот пример решается так же, как и предыдущий, с использованием свойства частного корней: $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$.
$\frac{\sqrt[5]{256}}{\sqrt[5]{8}} = \sqrt[5]{\frac{256}{8}}$.
Выполним деление под корнем: $256 : 8 = 32$.
Получаем $\sqrt[5]{32}$.
Так как $2^5 = 32$, то $\sqrt[5]{32} = 2$.
Ответ: 2

5) Сначала упростим выражение в скобках. Для этого вынесем множитель из-под знака корня, где это возможно.
$\sqrt{25} = 5$.
$\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{5} = 3\sqrt{5}$.
Теперь выражение в скобках имеет вид: $(5 - 3\sqrt{5})$.
Далее необходимо разделить это выражение на $\sqrt{5}$:
$(5 - 3\sqrt{5}) : \sqrt{5} = \frac{5 - 3\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$.
Разделим каждый член числителя на знаменатель:
$\frac{5}{\sqrt{5}} - \frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$.
Упростим каждое слагаемое. Для первого слагаемого избавимся от иррациональности в знаменателе: $\frac{5}{\sqrt{5}} = \frac{5 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{5\sqrt{5}}{5} = \sqrt{5}$.
Второе слагаемое: $\frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = 3$.
В итоге получаем: $\sqrt{5} - 3$.
Ответ: $\sqrt{5} - 3$

6) Упростим выражение в скобках, вынеся множитель из-под знака корня.
$\sqrt[3]{625} = \sqrt[3]{125 \cdot 5} = \sqrt[3]{125} \cdot \sqrt[3]{5} = 5\sqrt[3]{5}$.
Подставим это в исходное выражение:
$(5\sqrt[3]{5} - \sqrt[3]{5}) : \sqrt[3]{5}$.
Выполним вычитание в скобках, так как у нас подобные слагаемые:
$5\sqrt[3]{5} - \sqrt[3]{5} = (5-1)\sqrt[3]{5} = 4\sqrt[3]{5}$.
Теперь выполним деление:
$4\sqrt[3]{5} : \sqrt[3]{5} = \frac{4\sqrt[3]{5}}{\sqrt[3]{5}} = 4$.
Ответ: 4