Номер 446, страница 153 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

446. Упростить выражение:

1) $\sqrt[3]{2ab^2} \cdot \sqrt[3]{4a^2b}$;

2) $\sqrt[4]{3a^2b^3} \cdot \sqrt[4]{27a^2b}$;

3) $\sqrt[4]{\frac{ab}{c}} \cdot \sqrt[4]{\frac{a^3c}{b}}$;

4) $\sqrt[3]{\frac{16a}{b^2}} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{2ab}}$.

1) Для упрощения произведения корней с одинаковым показателем степени, воспользуемся свойством $\sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y} = \sqrt[n]{xy}$. В данном случае показатель корня $n=3$.
$\sqrt[3]{2ab^2} \cdot \sqrt[3]{4a^2b} = \sqrt[3]{(2ab^2) \cdot (4a^2b)}$
Умножим выражения под корнем:
$(2ab^2) \cdot (4a^2b) = (2 \cdot 4) \cdot (a \cdot a^2) \cdot (b^2 \cdot b) = 8a^{1+2}b^{2+1} = 8a^3b^3$
Подставим результат обратно под корень:
$\sqrt[3]{8a^3b^3}$
Извлечем кубический корень. Так как $8 = 2^3$, то:
$\sqrt[3]{8a^3b^3} = \sqrt[3]{2^3 a^3 b^3} = \sqrt[3]{(2ab)^3} = 2ab$
Ответ: $2ab$

2) Используем свойство произведения корней с одинаковым показателем $\sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y} = \sqrt[n]{xy}$, где $n=4$.
$\sqrt[4]{3a^2b^3} \cdot \sqrt[4]{27a^2b} = \sqrt[4]{(3a^2b^3) \cdot (27a^2b)}$
Умножим выражения под корнем:
$(3a^2b^3) \cdot (27a^2b) = (3 \cdot 27) \cdot (a^2 \cdot a^2) \cdot (b^3 \cdot b) = 81a^{4}b^{4}$
Получаем выражение:
$\sqrt[4]{81a^4b^4} = \sqrt[4]{(3ab)^4}$
По свойству $\sqrt[2k]{x^{2k}} = |x|$, где $k$ - натуральное число, имеем:
$\sqrt[4]{(3ab)^4} = |3ab|$
Из условия задачи, чтобы исходные выражения $\sqrt[4]{3a^2b^3}$ и $\sqrt[4]{27a^2b}$ были определены в действительных числах, подкоренные выражения должны быть неотрицательны. Так как $a^2 \ge 0$, это требует, чтобы $b^3 \ge 0$ и $b \ge 0$, то есть $b \ge 0$.
Учитывая, что $b \ge 0$, мы можем вынести его из-под знака модуля: $|3ab| = 3|a|b$.
Ответ: $3|a|b$

3) Для упрощения данного выражения воспользуемся свойством произведения корней с одинаковым показателем $\sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y} = \sqrt[n]{xy}$ при $n=4$.
$\sqrt[4]{\frac{ab}{c}} \cdot \sqrt[4]{\frac{a^3c}{b}} = \sqrt[4]{\frac{ab}{c} \cdot \frac{a^3c}{b}}$
Умножим дроби под корнем:
$\frac{ab}{c} \cdot \frac{a^3c}{b} = \frac{a \cdot a^3 \cdot b \cdot c}{c \cdot b}$
Сокращаем $b$ и $c$ (при условии, что $b \ne 0$ и $c \ne 0$, что следует из области определения исходного выражения):
$= a \cdot a^3 = a^4$
Подставляем упрощенное выражение обратно под корень:
$\sqrt[4]{a^4}$
Так как корень четной степени из переменной в четной степени равен модулю этой переменной ($\sqrt[2k]{x^{2k}} = |x|$), получаем:
$= |a|$
Ответ: $|a|$

4) Объединим два корня в один, используя свойство $\sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y} = \sqrt[n]{xy}$ для $n=3$.
$\sqrt[3]{\frac{16a}{b^2}} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{2ab}} = \sqrt[3]{\frac{16a}{b^2} \cdot \frac{1}{2ab}}$
Перемножим подкоренные выражения:
$\frac{16a}{b^2} \cdot \frac{1}{2ab} = \frac{16a}{2ab^3}$
Сократим дробь на $2a$ (при условии $a \ne 0, b \ne 0$ из области определения):
$\frac{16a}{2ab^3} = \frac{8}{b^3}$
Теперь извлечем кубический корень:
$\sqrt[3]{\frac{8}{b^3}} = \frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{b^3}} = \frac{\sqrt[3]{2^3}}{b} = \frac{2}{b}$
Ответ: $\frac{2}{b}$