Номер 447, страница 153 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Вычислить (447-448).

447. 1) $ \sqrt[3]{\frac{64}{52}} $;

2) $ \sqrt[4]{\frac{16}{81}} $;

3) $ \sqrt[3]{3\frac{3}{8}} $;

4) $ \sqrt[5]{7\frac{19}{32}} $.

1) Для вычисления корня из дроби воспользуемся свойством $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$. В данном примере, исходя из контекста остальных заданий, наиболее вероятно, что под корнем находится дробь $\frac{64}{125}$, так как и числитель, и знаменатель в этом случае являются полными кубами.

$\sqrt[3]{\frac{64}{125}} = \frac{\sqrt[3]{64}}{\sqrt[3]{125}}$

Вычислим корни из числителя и знаменателя:
$\sqrt[3]{64} = 4$, так как $4^3 = 64$.
$\sqrt[3]{125} = 5$, так как $5^3 = 125$.

Таким образом, значение выражения равно $\frac{4}{5}$.

Ответ: $\frac{4}{5}$.

2) Используем свойство корня из дроби $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$:

$\sqrt[4]{\frac{16}{81}} = \frac{\sqrt[4]{16}}{\sqrt[4]{81}}$

Находим корни четвертой степени:
$\sqrt[4]{16} = 2$, так как $2^4 = 16$.
$\sqrt[4]{81} = 3$, так как $3^4 = 81$.

Следовательно, результат равен $\frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$.

3) Сначала необходимо преобразовать смешанное число в неправильную дробь:

$3\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 8 + 3}{8} = \frac{24+3}{8} = \frac{27}{8}$

Теперь извлечем кубический корень из полученной дроби:

$\sqrt[3]{\frac{27}{8}} = \frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{8}}$

Вычисляем значения корней:
$\sqrt[3]{27} = 3$, так как $3^3 = 27$.
$\sqrt[3]{8} = 2$, так как $2^3 = 8$.

Результат равен $\frac{3}{2}$, что можно записать как смешанное число $1\frac{1}{2}$.

Ответ: $1\frac{1}{2}$.

4) Преобразуем смешанное число, стоящее под знаком корня, в неправильную дробь:

$7\frac{19}{32} = \frac{7 \cdot 32 + 19}{32} = \frac{224 + 19}{32} = \frac{243}{32}$

Далее вычисляем корень пятой степени из этой дроби:

$\sqrt[5]{\frac{243}{32}} = \frac{\sqrt[5]{243}}{\sqrt[5]{32}}$

Находим значения корней:
$\sqrt[5]{243} = 3$, так как $3^5 = 243$.
$\sqrt[5]{32} = 2$, так как $2^5 = 32$.

Результат равен $\frac{3}{2}$, или $1\frac{1}{2}$.

Ответ: $1\frac{1}{2}$.