Номер 450, страница 154 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Вычислить (450–451).

450.

1) $(\sqrt[6]{7^3})^2$ ; 2) $(\sqrt[6]{9})^{-3}$ ; 3) $(\sqrt[10]{32})^2$ ; 4) $(\sqrt[8]{16})^{-4}$ .

1) $(\sqrt[6]{7^3})^2$

Для вычисления данного выражения воспользуемся свойством степеней и корней, согласно которому $(\sqrt[n]{a^m})^k = a^{\frac{m \cdot k}{n}}$.

В нашем случае основание $a=7$, показатель корня $n=6$, показатель степени под корнем $m=3$ и показатель внешней степени $k=2$.

Применяя формулу, получаем:

$(\sqrt[6]{7^3})^2 = 7^{\frac{3 \cdot 2}{6}} = 7^{\frac{6}{6}} = 7^1 = 7$.

Другой способ — сначала представить корень как степень с дробным показателем $\sqrt[6]{7^3} = 7^{\frac{3}{6}} = 7^{\frac{1}{2}}$, а затем возвести в степень 2:

$(7^{\frac{1}{2}})^2 = 7^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 7^1 = 7$.

Ответ: 7

2) $(\sqrt[6]{9})^{-3}$

Представим корень в виде степени с дробным показателем, используя определение $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$:

$\sqrt[6]{9} = 9^{\frac{1}{6}}$.

Теперь возведем полученное выражение в степень -3, используя свойство степеней $(a^b)^c = a^{b \cdot c}$:

$(9^{\frac{1}{6}})^{-3} = 9^{\frac{1}{6} \cdot (-3)} = 9^{-\frac{3}{6}} = 9^{-\frac{1}{2}}$.

Далее используем свойство степени с отрицательным показателем $a^{-m} = \frac{1}{a^m}$:

$9^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{9^{\frac{1}{2}}}$.

Поскольку $9^{\frac{1}{2}} = \sqrt{9} = 3$, окончательный результат:

$\frac{1}{3}$.

Также можно было сразу заметить, что $9 = 3^2$. Тогда:

$(\sqrt[6]{9})^{-3} = (\sqrt[6]{3^2})^{-3} = (3^{\frac{2}{6}})^{-3} = (3^{\frac{1}{3}})^{-3} = 3^{\frac{1}{3} \cdot (-3)} = 3^{-1} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$

3) $(\sqrt[10]{32})^2$

Преобразуем выражение, используя свойство $(\sqrt[n]{a})^k = a^{\frac{k}{n}}$:

$(\sqrt[10]{32})^2 = 32^{\frac{2}{10}} = 32^{\frac{1}{5}}$.

Заметим, что число 32 является пятой степенью числа 2, то есть $32 = 2^5$.

Подставим это значение в выражение:

$32^{\frac{1}{5}} = (2^5)^{\frac{1}{5}}$.

Используя свойство степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем:

$(2^5)^{\frac{1}{5}} = 2^{5 \cdot \frac{1}{5}} = 2^1 = 2$.

Ответ: 2

4) $(\sqrt[8]{16})^{-4}$

Воспользуемся формулой $(\sqrt[n]{a})^k = a^{\frac{k}{n}}$ для преобразования выражения:

$(\sqrt[8]{16})^{-4} = 16^{\frac{-4}{8}} = 16^{-\frac{1}{2}}$.

Применим свойство степени с отрицательным показателем $a^{-m} = \frac{1}{a^m}$:

$16^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{16^{\frac{1}{2}}}$.

Знаменатель $16^{\frac{1}{2}}$ равен квадратному корню из 16, то есть $\sqrt{16} = 4$.

Таким образом, итоговый результат:

$\frac{1}{4}$.

В качестве альтернативного решения можно было представить 16 как $2^4$:

$(\sqrt[8]{16})^{-4} = (\sqrt[8]{2^4})^{-4} = (2^{\frac{4}{8}})^{-4} = (2^{\frac{1}{2}})^{-4} = 2^{\frac{1}{2} \cdot (-4)} = 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$