Номер 453, страница 154 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

453. При каких значениях x имеет смысл выражение

1) $\sqrt[3]{2x - 3}$;

2) $\sqrt[6]{x + 3}$;

3) $\sqrt[6]{2x^2 - x - 1}$;

4) $\sqrt[4]{\frac{2 - 3x}{2x - 4}}$?

1) Выражение $\sqrt[3]{2x - 3}$ представляет собой корень нечетной степени (кубический корень). Подкоренное выражение для корня нечетной степени может быть любым действительным числом (положительным, отрицательным или нулем). Следовательно, выражение $2x - 3$ определено для любых значений $x$. Никаких ограничений на переменную $x$ не накладывается. Таким образом, выражение имеет смысл при всех действительных значениях $x$.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

2) Выражение $\sqrt[6]{x + 3}$ представляет собой корень четной степени. Для того чтобы такое выражение имело смысл в области действительных чисел, подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Таким образом, необходимо выполнить условие:
$x + 3 \ge 0$
Решая это линейное неравенство, получаем:
$x \ge -3$
Следовательно, выражение имеет смысл для всех $x$, больших или равных -3.
Ответ: $x \in [-3; +\infty)$.

3) Выражение $\sqrt[6]{2x^2 - x - 1}$ также является корнем четной степени, поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$2x^2 - x - 1 \ge 0$
Это квадратное неравенство. Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2x^2 - x - 1 = 0$, используя формулу для корней квадратного уравнения.
Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$.
Корни: $x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 3}{4} = 1$ и $x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2}$.
Графиком функции $y = 2x^2 - x - 1$ является парабола с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при $x^2$ положителен). Значения функции неотрицательны на участках, где $x$ меньше или равен меньшему корню, и где $x$ больше или равен большему корню.
Таким образом, решение неравенства: $x \le -\frac{1}{2}$ или $x \ge 1$.
Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{1}{2}] \cup [1; +\infty)$.

4) В выражении $\sqrt[4]{\frac{2 - 3x}{2x - 4}}$ мы имеем корень четной степени от дроби. Здесь должны выполняться два условия:
1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $\frac{2 - 3x}{2x - 4} \ge 0$.
2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $2x - 4 \neq 0$.
Из второго условия получаем $2x \neq 4$, то есть $x \neq 2$.
Для решения неравенства $\frac{2 - 3x}{2x - 4} \ge 0$ используем метод интервалов.
Найдем нули числителя и знаменателя:
Нуль числителя: $2 - 3x = 0 \implies 3x = 2 \implies x = \frac{2}{3}$.
Нуль знаменателя: $2x - 4 = 0 \implies 2x = 4 \implies x = 2$.
Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки дроби в полученных интервалах:
При $x < \frac{2}{3}$ (например, $x=0$): $\frac{2-0}{0-4} < 0$.
При $\frac{2}{3} < x < 2$ (например, $x=1$): $\frac{2-3}{2-4} = \frac{-1}{-2} > 0$.
При $x > 2$ (например, $x=3$): $\frac{2-9}{6-4} < 0$.
Неравенство $\ge 0$ выполняется, когда дробь положительна или равна нулю (то есть когда числитель равен нулю). Это соответствует интервалу, где знак "+", включая точку $x=\frac{2}{3}$.
Следовательно, решение: $\frac{2}{3} \le x < 2$.
Ответ: $x \in [\frac{2}{3}; 2)$.