Номер 459, страница 154 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

459. Освободиться от иррациональности в знаменателе:

1) $\frac{5}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}$;

2) $\frac{4}{\sqrt{5}+3}$;

3) $\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$;

4) $\frac{11}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}$.

1) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{5}{\sqrt{2-\sqrt{3}}} $, сначала нужно упростить сам знаменатель, который представляет собой сложный (вложенный) радикал. Для этого преобразуем подкоренное выражение так, чтобы можно было выделить полный квадрат. Умножим и разделим выражение под корнем на 2:
$ \sqrt{2-\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{2(2-\sqrt{3})}{2}} = \sqrt{\frac{4-2\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{4-2\sqrt{3}}}{\sqrt{2}} $.
Теперь рассмотрим выражение $ \sqrt{4-2\sqrt{3}} $. Его можно представить в виде квадрата разности, используя формулу $ (a-b)^2 = a^2-2ab+b^2 $. Мы ищем такие числа $a$ и $b$, что $ a^2+b^2=4 $ и $ 2ab=2\sqrt{3} $ (или $ ab=\sqrt{3} $). Подбором находим, что $ a=\sqrt{3} $ и $ b=1 $.
Таким образом, $ 4-2\sqrt{3} = (\sqrt{3})^2 - 2\cdot\sqrt{3}\cdot1 + 1^2 = (\sqrt{3}-1)^2 $.
Значит, $ \sqrt{4-2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3}-1)^2} = \sqrt{3}-1 $.
Подставим это обратно в выражение для знаменателя:
$ \sqrt{2-\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}} $.
Теперь исходная дробь имеет вид:
$ \frac{5}{\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}} = \frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{3}-1} $.
Чтобы избавиться от иррациональности в новом знаменателе, домножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное к знаменателю выражение, то есть на $ \sqrt{3}+1 $:
$ \frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{3}-1} = \frac{5\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{5\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{5\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)}{3-1} = \frac{5\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)}{2} $.
Ответ: $ \frac{5\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)}{2} $.

2) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{4}{\sqrt{5}+3} $, необходимо домножить числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю. Сопряженным выражением для $ \sqrt{5}+3 $ является $ \sqrt{5}-3 $. При умножении этих выражений используется формула разности квадратов $ (a+b)(a-b)=a^2-b^2 $.
$ \frac{4}{\sqrt{5}+3} = \frac{4(\sqrt{5}-3)}{(\sqrt{5}+3)(\sqrt{5}-3)} = \frac{4(\sqrt{5}-3)}{(\sqrt{5})^2 - 3^2} = \frac{4(\sqrt{5}-3)}{5-9} = \frac{4(\sqrt{5}-3)}{-4} $.
Сокращаем дробь на 4:
$ -(\sqrt{5}-3) = 3-\sqrt{5} $.
Ответ: $ 3-\sqrt{5} $.

3) Для того чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} $, домножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение, которым является $ \sqrt{5}+\sqrt{3} $. Воспользуемся формулой разности квадратов $ (a-b)(a+b)=a^2-b^2 $.
$ \frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} = \frac{1 \cdot (\sqrt{5}+\sqrt{3})}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{5-3} = \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2} $.

4) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{11}{\sqrt{7}-\sqrt{5}} $, необходимо домножить числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение, то есть на $ \sqrt{7}+\sqrt{5} $. Применим формулу разности квадратов $ (a-b)(a+b)=a^2-b^2 $.
$ \frac{11}{\sqrt{7}-\sqrt{5}} = \frac{11(\sqrt{7}+\sqrt{5})}{(\sqrt{7}-\sqrt{5})(\sqrt{7}+\sqrt{5})} = \frac{11(\sqrt{7}+\sqrt{5})}{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{11(\sqrt{7}+\sqrt{5})}{7-5} = \frac{11(\sqrt{7}+\sqrt{5})}{2} $.
Ответ: $ \frac{11(\sqrt{7}+\sqrt{5})}{2} $.