Номер 465, страница 155 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

465. Освободиться от иррациональности в знаменателе:

1) $\frac{1}{1+\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{9}}$

2) $\frac{1}{\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{5}}$

3) $\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt[4]{xy}+\sqrt{y}}$

4) $\frac{3}{\sqrt{x}-\sqrt[4]{xy}+\sqrt{y}}$

1)

Исходное выражение: $\frac{1}{1 + \sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{9}}$

Знаменатель можно сгруппировать как $(1 + \sqrt[3]{3}) - \sqrt[3]{9}$. Чтобы избавиться от иррациональности, домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(1 + \sqrt[3]{3}) + \sqrt[3]{9}$, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.

$\frac{1}{(1 + \sqrt[3]{3}) - \sqrt[3]{9}} \cdot \frac{(1 + \sqrt[3]{3}) + \sqrt[3]{9}}{(1 + \sqrt[3]{3}) + \sqrt[3]{9}} = \frac{1 + \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9}}{(1 + \sqrt[3]{3})^2 - (\sqrt[3]{9})^2}$

Раскроем скобки в знаменателе:

$(1 + \sqrt[3]{3})^2 - (\sqrt[3]{9})^2 = (1 + 2\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9}) - \sqrt[3]{81} = 1 + 2\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{27 \cdot 3} = 1 + 2\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9} - 3\sqrt[3]{3} = 1 - \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9}$

Получили выражение: $\frac{1 + \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9}}{1 - \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9}}$

Знаменатель $1 - \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9}$ является неполным квадратом суммы, который является частью формулы суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$. В нашем случае $a=1, b=\sqrt[3]{3}$. Домножим числитель и знаменатель на $(1+\sqrt[3]{3})$:

$\frac{1 + \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9}}{1 - \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9}} \cdot \frac{1 + \sqrt[3]{3}}{1 + \sqrt[3]{3}} = \frac{(1 + \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9})(1 + \sqrt[3]{3})}{1^3 + (\sqrt[3]{3})^3}$

Знаменатель становится $1+3=4$. Раскроем скобки в числителе:

$(1 + \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9})(1 + \sqrt[3]{3}) = 1 + \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{27} = 1 + 2\sqrt[3]{3} + 2\sqrt[3]{9} + 3 = 4 + 2\sqrt[3]{3} + 2\sqrt[3]{9}$

Итоговое выражение:

$\frac{4 + 2\sqrt[3]{3} + 2\sqrt[3]{9}}{4} = \frac{2(2 + \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9})}{4} = \frac{2 + \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9}}{2}$

Ответ: $\frac{2 + \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9}}{2}$

2)

Исходное выражение: $\frac{1}{\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{5}}$

Воспользуемся тождеством $x^3+y^3+z^3-3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$.

Пусть $x=\sqrt[3]{2}$, $y=\sqrt[3]{3}$, $z=-\sqrt[3]{5}$. Тогда знаменатель дроби равен $x+y+z$.

Проверим сумму кубов: $x^3+y^3+z^3 = (\sqrt[3]{2})^3 + (\sqrt[3]{3})^3 + (-\sqrt[3]{5})^3 = 2+3-5=0$.

При $x^3+y^3+z^3=0$ тождество упрощается до $-3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$.

Отсюда следует, что $\frac{1}{x+y+z} = \frac{x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx}{-3xyz}$.

Вычислим множитель для знаменателя:

$x^2 = (\sqrt[3]{2})^2 = \sqrt[3]{4}$

$y^2 = (\sqrt[3]{3})^2 = \sqrt[3]{9}$

$z^2 = (-\sqrt[3]{5})^2 = \sqrt[3]{25}$

$-xy = -(\sqrt[3]{2})(\sqrt[3]{3}) = -\sqrt[3]{6}$

$-yz = -(\sqrt[3]{3})(-\sqrt[3]{5}) = \sqrt[3]{15}$

$-zx = -(-\sqrt[3]{5})(\sqrt[3]{2}) = \sqrt[3]{10}$

Таким образом, множитель равен $\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{25}-\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{15}+\sqrt[3]{10}$.

Новый знаменатель будет равен $-3xyz = -3(\sqrt[3]{2})(\sqrt[3]{3})(-\sqrt[3]{5}) = 3\sqrt[3]{30}$.

Получили дробь: $\frac{\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{25}-\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{15}+\sqrt[3]{10}}{3\sqrt[3]{30}}$.

В знаменателе все еще есть иррациональность. Чтобы избавиться от $\sqrt[3]{30}$, домножим числитель и знаменатель на $(\sqrt[3]{30})^2=\sqrt[3]{900}$.

Знаменатель: $3\sqrt[3]{30} \cdot \sqrt[3]{900} = 3\sqrt[3]{27000} = 3 \cdot 30 = 90$.

Числитель: $(\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{25}-\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{15}+\sqrt[3]{10}) \cdot \sqrt[3]{900}$

$=\sqrt[3]{3600}+\sqrt[3]{8100}+\sqrt[3]{22500}-\sqrt[3]{5400}+\sqrt[3]{13500}+\sqrt[3]{9000}$

Упростим корни в числителе:

$\sqrt[3]{3600}=\sqrt[3]{8 \cdot 450}=2\sqrt[3]{450}$

$\sqrt[3]{8100}=\sqrt[3]{27 \cdot 300}=3\sqrt[3]{300}$

$\sqrt[3]{22500}=\sqrt[3]{125 \cdot 180}=5\sqrt[3]{180}$

$\sqrt[3]{5400}=\sqrt[3]{27 \cdot 200}=3\sqrt[3]{200}$

$\sqrt[3]{13500}=\sqrt[3]{125 \cdot 108}=5\sqrt[3]{108}$

$\sqrt[3]{9000}=\sqrt[3]{1000 \cdot 9}=10\sqrt[3]{9}$

Окончательный вид дроби:

$\frac{2\sqrt[3]{450}+3\sqrt[3]{300}+5\sqrt[3]{180}-3\sqrt[3]{200}+5\sqrt[3]{108}+10\sqrt[3]{9}}{90}$

Ответ: $\frac{2\sqrt[3]{450}+3\sqrt[3]{300}+5\sqrt[3]{180}-3\sqrt[3]{200}+5\sqrt[3]{108}+10\sqrt[3]{9}}{90}$

3)

Исходное выражение: $\frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt[4]{xy} + \sqrt{y}}$

Обозначим $a=\sqrt[4]{x}$ и $b=\sqrt[4]{y}$. Тогда $\sqrt{x}=a^2$, $\sqrt{y}=b^2$ и $\sqrt[4]{xy}=ab$. Знаменатель принимает вид $a^2+ab+b^2$.

Воспользуемся формулой $a^4+a^2b^2+b^4=(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)$. Домножим числитель и знаменатель на $a^2-ab+b^2 = \sqrt{x}-\sqrt[4]{xy}+\sqrt{y}$.

Знаменатель станет $a^4+a^2b^2+b^4 = (\sqrt[4]{x})^4+(\sqrt[4]{x})^2(\sqrt[4]{y})^2+(\sqrt[4]{y})^4 = x+\sqrt{xy}+y$.

Получим дробь: $\frac{\sqrt{x}-\sqrt[4]{xy}+\sqrt{y}}{x+\sqrt{xy}+y}$.

Теперь нужно избавиться от $\sqrt{xy}$ в знаменателе. Сгруппируем его как $(x+y)+\sqrt{xy}$ и домножим на сопряженное выражение $(x+y)-\sqrt{xy}$.

$\frac{\sqrt{x}-\sqrt[4]{xy}+\sqrt{y}}{(x+y)+\sqrt{xy}} \cdot \frac{(x+y)-\sqrt{xy}}{(x+y)-\sqrt{xy}} = \frac{(\sqrt{x}-\sqrt[4]{xy}+\sqrt{y})(x+y-\sqrt{xy})}{(x+y)^2-(\sqrt{xy})^2}$

Знаменатель: $(x+y)^2-xy = x^2+2xy+y^2-xy = x^2+xy+y^2$.

Это выражение рационально.

Ответ: $\frac{(\sqrt{x}-\sqrt[4]{xy}+\sqrt{y})(x+y-\sqrt{xy})}{x^2+xy+y^2}$

4)

Исходное выражение: $\frac{3}{\sqrt{x} - \sqrt[4]{xy} + \sqrt{y}}$

Аналогично предыдущему пункту, пусть $a=\sqrt[4]{x}$ и $b=\sqrt[4]{y}$. Знаменатель имеет вид $a^2-ab+b^2$.

Используя то же тождество $a^4+a^2b^2+b^4=(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)$, домножим числитель и знаменатель на $a^2+ab+b^2 = \sqrt{x}+\sqrt[4]{xy}+\sqrt{y}$.

Знаменатель станет $a^4+a^2b^2+b^4 = x+\sqrt{xy}+y$.

Получим дробь: $\frac{3(\sqrt{x}+\sqrt[4]{xy}+\sqrt{y})}{x+\sqrt{xy}+y}$.

Как и в предыдущем задании, избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив на сопряженное выражение $(x+y)-\sqrt{xy}$.

$\frac{3(\sqrt{x}+\sqrt[4]{xy}+\sqrt{y})}{(x+y)+\sqrt{xy}} \cdot \frac{(x+y)-\sqrt{xy}}{(x+y)-\sqrt{xy}} = \frac{3(\sqrt{x}+\sqrt[4]{xy}+\sqrt{y})(x+y-\sqrt{xy})}{(x+y)^2-(\sqrt{xy})^2}$

Знаменатель: $(x+y)^2-xy = x^2+2xy+y^2-xy = x^2+xy+y^2$.

Ответ: $\frac{3(\sqrt{x}+\sqrt[4]{xy}+\sqrt{y})(x+y-\sqrt{xy})}{x^2+xy+y^2}$