Страница 155 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

461. Упростить выражение:

1) $\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b}} - \frac{\sqrt{a}+\sqrt[4]{ab}}{\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}}$

2) $\frac{a-b}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}} - \frac{a+b}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}$

3) $\left(\frac{a+b}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}} - \sqrt[3]{ab}\right) : \left(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}\right)^2$

1)

Исходное выражение: $\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b}} - \frac{\sqrt{a}+\sqrt[4]{ab}}{\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}}$.

Сначала упростим первую дробь. Заметим, что числитель является разностью квадратов, так как $\sqrt{a} = (\sqrt[4]{a})^2$ и $\sqrt{b} = (\sqrt[4]{b})^2$.

$\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b}} = \frac{(\sqrt[4]{a})^2-(\sqrt[4]{b})^2}{\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b}} = \frac{(\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b})}{\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b}} = \sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}$.

Теперь упростим вторую дробь. В числителе можно вынести за скобки общий множитель $\sqrt[4]{a}$, так как $\sqrt{a} = (\sqrt[4]{a})^2$ и $\sqrt[4]{ab} = \sqrt[4]{a}\sqrt[4]{b}$.

$\frac{\sqrt{a}+\sqrt[4]{ab}}{\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}} = \frac{(\sqrt[4]{a})^2+\sqrt[4]{a}\sqrt[4]{b}}{\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}} = \frac{\sqrt[4]{a}(\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b})}{\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}} = \sqrt[4]{a}$.

Теперь выполним вычитание упрощенных выражений:

$(\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}) - \sqrt[4]{a} = \sqrt[4]{b}$.

Ответ: $\sqrt[4]{b}$.

2)

Исходное выражение: $\frac{a-b}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}} - \frac{a+b}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}$.

Упростим первую дробь, используя формулу разности кубов $a-b = (\sqrt[3]{a})^3 - (\sqrt[3]{b})^3 = (\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2})$.

$\frac{a-b}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}} = \frac{(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2})}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}} = \sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}$.

Упростим вторую дробь, используя формулу суммы кубов $a+b = (\sqrt[3]{a})^3 + (\sqrt[3]{b})^3 = (\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2})$.

$\frac{a+b}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}} = \frac{(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2})}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}} = \sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}$.

Теперь вычтем второе упрощенное выражение из первого:

$(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}) - (\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}) = \sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2} - \sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}-\sqrt[3]{b^2} = 2\sqrt[3]{ab}$.

Ответ: $2\sqrt[3]{ab}$.

3)

Исходное выражение: $\left(\frac{a+b}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}} - \sqrt[3]{ab}\right) : (\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})^2$.

Сначала упростим выражение в скобках. Преобразуем дробь, используя формулу суммы кубов $a+b = (\sqrt[3]{a})^3 + (\sqrt[3]{b})^3$.

$\frac{a+b}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}} = \frac{(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2})}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}} = \sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}$.

Теперь подставим это в скобки и вычтем $\sqrt[3]{ab}$:

$(\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}) - \sqrt[3]{ab} = \sqrt[3]{a^2}-2\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}$.

Полученное выражение является полным квадратом разности: $(\sqrt[3]{a})^2-2\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b}+(\sqrt[3]{b})^2 = (\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})^2$.

Теперь выполним деление:

$(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})^2 : (\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})^2 = 1$.

Ответ: $1$.

462. Сравнить значения выражений:

1) $\sqrt{3} + \sqrt[3]{30}$ и $\sqrt[3]{63};$

2) $\sqrt[3]{7} + \sqrt{15}$ и $\sqrt{10} + \sqrt[3]{28}.$

1) Сравнить $\sqrt{3} + \sqrt[3]{30}$ и $\sqrt[3]{63}$.

Для решения этой задачи сравним каждое из выражений с числом 4.

Рассмотрим выражение $\sqrt[3]{63}$.

Так как $63 < 64$, то $\sqrt[3]{63} < \sqrt[3]{64}$.

Поскольку $\sqrt[3]{64} = 4$, мы получаем, что $\sqrt[3]{63} < 4$.

Теперь рассмотрим выражение $\sqrt{3} + \sqrt[3]{30}$.

Оценим каждое слагаемое:

Так как $3 > 1$, то $\sqrt{3} > \sqrt{1}$, следовательно $\sqrt{3} > 1$.

Так как $30 > 27$, то $\sqrt[3]{30} > \sqrt[3]{27}$, следовательно $\sqrt[3]{30} > 3$.

Сложив эти два неравенства, получаем:

$\sqrt{3} + \sqrt[3]{30} > 1 + 3 = 4$.

Итак, мы установили, что $\sqrt{3} + \sqrt[3]{30} > 4$ и $\sqrt[3]{63} < 4$.

Следовательно, $\sqrt{3} + \sqrt[3]{30} > \sqrt[3]{63}$.

Ответ: $\sqrt{3} + \sqrt[3]{30} > \sqrt[3]{63}$.

2) Сравнить $\sqrt[3]{7} + \sqrt{15}$ и $\sqrt{10} + \sqrt[3]{28}$.

Для решения этой задачи сравним каждое из выражений с числом 6.

Рассмотрим первое выражение: $\sqrt[3]{7} + \sqrt{15}$.

Оценим каждое слагаемое:

Так как $7 < 8$, то $\sqrt[3]{7} < \sqrt[3]{8}$, что означает $\sqrt[3]{7} < 2$.

Так как $15 < 16$, то $\sqrt{15} < \sqrt{16}$, что означает $\sqrt{15} < 4$.

Складывая эти неравенства, получаем:

$\sqrt[3]{7} + \sqrt{15} < 2 + 4 = 6$.

Теперь рассмотрим второе выражение: $\sqrt{10} + \sqrt[3]{28}$.

Оценим каждое слагаемое:

Так как $10 > 9$, то $\sqrt{10} > \sqrt{9}$, что означает $\sqrt{10} > 3$.

Так как $28 > 27$, то $\sqrt[3]{28} > \sqrt[3]{27}$, что означает $\sqrt[3]{28} > 3$.

Складывая эти неравенства, получаем:

$\sqrt{10} + \sqrt[3]{28} > 3 + 3 = 6$.

Мы получили, что $\sqrt[3]{7} + \sqrt{15} < 6$ и $\sqrt{10} + \sqrt[3]{28} > 6$.

Из этого следует, что $\sqrt[3]{7} + \sqrt{15} < \sqrt{10} + \sqrt[3]{28}$.

Ответ: $\sqrt[3]{7} + \sqrt{15} < \sqrt{10} + \sqrt[3]{28}$.

463. Доказать, что:

1) $\sqrt{4+2\sqrt{3}} - \sqrt{4-2\sqrt{3}} = 2;$

2) $\sqrt[3]{9+\sqrt{80}} + \sqrt[3]{9-\sqrt{80}} = 3.$

1) Для доказательства равенства $\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} - \sqrt{4 - 2\sqrt{3}} = 2$ преобразуем выражения под знаками корня, выделив в них полные квадраты.
Заметим, что подкоренные выражения похожи на формулы квадрата суммы и разности $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$.
Рассмотрим первое слагаемое: $4 + 2\sqrt{3}$. Мы можем представить $4$ как $3 + 1$.
$4 + 2\sqrt{3} = 3 + 2\sqrt{3} + 1 = (\sqrt{3})^2 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{3} + 1)^2$.
Следовательно, $\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3} + 1)^2} = |\sqrt{3} + 1| = \sqrt{3} + 1$.
Аналогично для второго слагаемого: $4 - 2\sqrt{3}$.
$4 - 2\sqrt{3} = 3 - 2\sqrt{3} + 1 = (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{3} - 1)^2$.
Следовательно, $\sqrt{4 - 2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3} - 1)^2} = |\sqrt{3} - 1| = \sqrt{3} - 1$, так как $\sqrt{3} \approx 1.732 > 1$, то $\sqrt{3}-1 > 0$.
Теперь подставим полученные значения в исходное выражение:
$(\sqrt{3} + 1) - (\sqrt{3} - 1) = \sqrt{3} + 1 - \sqrt{3} + 1 = 2$.
Мы получили, что левая часть равна $2$, что соответствует правой части равенства. Таким образом, равенство доказано.
Ответ: равенство верно.

2) Для доказательства равенства $\sqrt[3]{9 + \sqrt{80}} + \sqrt[3]{9 - \sqrt{80}} = 3$ обозначим левую часть через $x$.
$x = \sqrt[3]{9 + \sqrt{80}} + \sqrt[3]{9 - \sqrt{80}}$.
Возведем обе части этого уравнения в третью степень, используя формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$.
Пусть $a = \sqrt[3]{9 + \sqrt{80}}$ и $b = \sqrt[3]{9 - \sqrt{80}}$. Тогда $x = a+b$.
$x^3 = (\sqrt[3]{9 + \sqrt{80}} + \sqrt[3]{9 - \sqrt{80}})^3$
$x^3 = (\sqrt[3]{9 + \sqrt{80}})^3 + (\sqrt[3]{9 - \sqrt{80}})^3 + 3 \cdot \sqrt[3]{9 + \sqrt{80}} \cdot \sqrt[3]{9 - \sqrt{80}} \cdot (\sqrt[3]{9 + \sqrt{80}} + \sqrt[3]{9 - \sqrt{80}})$.
Упростим отдельные части этого выражения:
Сумма кубов: $(9 + \sqrt{80}) + (9 - \sqrt{80}) = 18$.
Произведение корней: $\sqrt[3]{(9 + \sqrt{80})(9 - \sqrt{80})} = \sqrt[3]{9^2 - (\sqrt{80})^2} = \sqrt[3]{81 - 80} = \sqrt[3]{1} = 1$.
Выражение в скобках — это наш исходный $x$.
Подставим все в уравнение для $x^3$:
$x^3 = 18 + 3 \cdot 1 \cdot x$
Получаем кубическое уравнение: $x^3 - 3x - 18 = 0$.
Найдем его корни. Попробуем подобрать целый корень среди делителей свободного члена $(-18)$: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6, \ldots$.
Проверим $x = 3$: $3^3 - 3 \cdot 3 - 18 = 27 - 9 - 18 = 18 - 18 = 0$.
Таким образом, $x = 3$ является корнем уравнения. Чтобы найти остальные корни, разделим многочлен $x^3 - 3x - 18$ на $(x - 3)$, в результате чего получим $(x-3)(x^2+3x+6)=0$.
Для квадратного уравнения $x^2+3x+6=0$ найдем дискриминант: $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 9 - 24 = -15$.
Так как $D < 0$, у этого квадратного уравнения нет действительных корней.
Исходное выражение $x$ является действительным числом, поэтому единственным решением является $x=3$. Следовательно, равенство доказано.
Ответ: равенство верно.

464. Упростить выражение:

1) $\sqrt{43 + 30\sqrt{2}} + \sqrt{43 - 30\sqrt{2}};$

2) $\sqrt{109 + 12\sqrt{3}} - \sqrt{109 - 12\sqrt{3}}.$

Для упрощения выражения $\sqrt{43 + 30\sqrt{2}} + \sqrt{43 - 30\sqrt{2}}$ воспользуемся формулой для сложных радикалов, которая вытекает из формулы квадрата суммы и разности: $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$. Мы стремимся представить подкоренные выражения в виде полных квадратов.

Рассмотрим первое слагаемое $\sqrt{43 + 30\sqrt{2}}$. Попробуем представить выражение под корнем $43 + 30\sqrt{2}$ в виде $(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$.Сравнивая это с нашим выражением, можно предположить, что $2ab = 30\sqrt{2}$ и $a^2 + b^2 = 43$.Из первого уравнения получаем $ab = 15\sqrt{2}$.Можно догадаться или подобрать такие $a$ и $b$. Например, пусть $a = 5$ и $b = 3\sqrt{2}$.Проверим, выполняется ли второе равенство: $a^2 + b^2 = 5^2 + (3\sqrt{2})^2 = 25 + 9 \cdot 2 = 25 + 18 = 43$.Условие выполняется, следовательно, $43 + 30\sqrt{2} = (5 + 3\sqrt{2})^2$.

Аналогично для второго слагаемого $\sqrt{43 - 30\sqrt{2}}$. Можно проверить, что $43 - 30\sqrt{2} = (5 - 3\sqrt{2})^2$, так как$ (5 - 3\sqrt{2})^2 = 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3\sqrt{2} + (3\sqrt{2})^2 = 25 - 30\sqrt{2} + 18 = 43 - 30\sqrt{2}$.

Теперь подставим полученные полные квадраты в исходное выражение:$\sqrt{(5 + 3\sqrt{2})^2} + \sqrt{(5 - 3\sqrt{2})^2} = |5 + 3\sqrt{2}| + |5 - 3\sqrt{2}|$.

Так как корень арифметический, значения выражений под модулем должны быть неотрицательными.Выражение $5 + 3\sqrt{2}$ очевидно положительно.Чтобы определить знак выражения $5 - 3\sqrt{2}$, сравним $5$ и $3\sqrt{2}$. Возведем оба числа в квадрат: $5^2 = 25$ и $(3\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$.Поскольку $25 > 18$, то $5 > 3\sqrt{2}$, и, следовательно, $5 - 3\sqrt{2} > 0$.Значит, $|5 + 3\sqrt{2}| = 5 + 3\sqrt{2}$ и $|5 - 3\sqrt{2}| = 5 - 3\sqrt{2}$.

В результате получаем:$(5 + 3\sqrt{2}) + (5 - 3\sqrt{2}) = 5 + 3\sqrt{2} + 5 - 3\sqrt{2} = 10$.

Ответ: $10$.

Упростим выражение $\sqrt{109 + 12\sqrt{3}} - \sqrt{109 - 12\sqrt{3}}$. Будем действовать аналогично первому пункту, представляя подкоренные выражения в виде полных квадратов.

Рассмотрим $\sqrt{109 + 12\sqrt{3}}$. Представим $109 + 12\sqrt{3}$ в виде $(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$.Отсюда получаем систему уравнений: $a^2 + b^2 = 109$ и $2ab = 12\sqrt{3}$, что дает $ab = 6\sqrt{3}$.Подберем значения для $a$ и $b$. Например, пусть $a=6\sqrt{3}$ и $b=1$.Проверим второе равенство: $a^2 + b^2 = (6\sqrt{3})^2 + 1^2 = 36 \cdot 3 + 1 = 108 + 1 = 109$.Условия выполняются, следовательно, $109 + 12\sqrt{3} = (6\sqrt{3} + 1)^2$.

Соответственно, для $109 - 12\sqrt{3}$ имеем:$(6\sqrt{3} - 1)^2 = (6\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 6\sqrt{3} \cdot 1 + 1^2 = 108 - 12\sqrt{3} + 1 = 109 - 12\sqrt{3}$.

Подставим полученные выражения в исходное:$\sqrt{(6\sqrt{3} + 1)^2} - \sqrt{(6\sqrt{3} - 1)^2} = |6\sqrt{3} + 1| - |6\sqrt{3} - 1|$.

Определим знаки выражений под модулями.$6\sqrt{3} + 1$ очевидно положительно.Для $6\sqrt{3} - 1$ сравним $6\sqrt{3}$ и $1$. Возведем в квадрат: $(6\sqrt{3})^2 = 36 \cdot 3 = 108$ и $1^2 = 1$.Так как $108 > 1$, то $6\sqrt{3} > 1$, и выражение $6\sqrt{3} - 1$ положительно.

Таким образом, раскрывая модули, получаем:$(6\sqrt{3} + 1) - (6\sqrt{3} - 1) = 6\sqrt{3} + 1 - 6\sqrt{3} + 1 = 2$.

Ответ: $2$.

465. Освободиться от иррациональности в знаменателе:

1) $\frac{1}{1+\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{9}}$

2) $\frac{1}{\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{5}}$

3) $\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt[4]{xy}+\sqrt{y}}$

4) $\frac{3}{\sqrt{x}-\sqrt[4]{xy}+\sqrt{y}}$

1)

Исходное выражение: $\frac{1}{1 + \sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{9}}$

Знаменатель можно сгруппировать как $(1 + \sqrt[3]{3}) - \sqrt[3]{9}$. Чтобы избавиться от иррациональности, домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(1 + \sqrt[3]{3}) + \sqrt[3]{9}$, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.

$\frac{1}{(1 + \sqrt[3]{3}) - \sqrt[3]{9}} \cdot \frac{(1 + \sqrt[3]{3}) + \sqrt[3]{9}}{(1 + \sqrt[3]{3}) + \sqrt[3]{9}} = \frac{1 + \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9}}{(1 + \sqrt[3]{3})^2 - (\sqrt[3]{9})^2}$

Раскроем скобки в знаменателе:

$(1 + \sqrt[3]{3})^2 - (\sqrt[3]{9})^2 = (1 + 2\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9}) - \sqrt[3]{81} = 1 + 2\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{27 \cdot 3} = 1 + 2\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9} - 3\sqrt[3]{3} = 1 - \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9}$

Получили выражение: $\frac{1 + \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9}}{1 - \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9}}$

Знаменатель $1 - \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9}$ является неполным квадратом суммы, который является частью формулы суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$. В нашем случае $a=1, b=\sqrt[3]{3}$. Домножим числитель и знаменатель на $(1+\sqrt[3]{3})$:

$\frac{1 + \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9}}{1 - \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9}} \cdot \frac{1 + \sqrt[3]{3}}{1 + \sqrt[3]{3}} = \frac{(1 + \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9})(1 + \sqrt[3]{3})}{1^3 + (\sqrt[3]{3})^3}$

Знаменатель становится $1+3=4$. Раскроем скобки в числителе:

$(1 + \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9})(1 + \sqrt[3]{3}) = 1 + \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{27} = 1 + 2\sqrt[3]{3} + 2\sqrt[3]{9} + 3 = 4 + 2\sqrt[3]{3} + 2\sqrt[3]{9}$

Итоговое выражение:

$\frac{4 + 2\sqrt[3]{3} + 2\sqrt[3]{9}}{4} = \frac{2(2 + \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9})}{4} = \frac{2 + \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9}}{2}$

Ответ: $\frac{2 + \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9}}{2}$

2)

Исходное выражение: $\frac{1}{\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{5}}$

Воспользуемся тождеством $x^3+y^3+z^3-3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$.

Пусть $x=\sqrt[3]{2}$, $y=\sqrt[3]{3}$, $z=-\sqrt[3]{5}$. Тогда знаменатель дроби равен $x+y+z$.

Проверим сумму кубов: $x^3+y^3+z^3 = (\sqrt[3]{2})^3 + (\sqrt[3]{3})^3 + (-\sqrt[3]{5})^3 = 2+3-5=0$.

При $x^3+y^3+z^3=0$ тождество упрощается до $-3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$.

Отсюда следует, что $\frac{1}{x+y+z} = \frac{x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx}{-3xyz}$.

Вычислим множитель для знаменателя:

$x^2 = (\sqrt[3]{2})^2 = \sqrt[3]{4}$

$y^2 = (\sqrt[3]{3})^2 = \sqrt[3]{9}$

$z^2 = (-\sqrt[3]{5})^2 = \sqrt[3]{25}$

$-xy = -(\sqrt[3]{2})(\sqrt[3]{3}) = -\sqrt[3]{6}$

$-yz = -(\sqrt[3]{3})(-\sqrt[3]{5}) = \sqrt[3]{15}$

$-zx = -(-\sqrt[3]{5})(\sqrt[3]{2}) = \sqrt[3]{10}$

Таким образом, множитель равен $\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{25}-\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{15}+\sqrt[3]{10}$.

Новый знаменатель будет равен $-3xyz = -3(\sqrt[3]{2})(\sqrt[3]{3})(-\sqrt[3]{5}) = 3\sqrt[3]{30}$.

Получили дробь: $\frac{\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{25}-\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{15}+\sqrt[3]{10}}{3\sqrt[3]{30}}$.

В знаменателе все еще есть иррациональность. Чтобы избавиться от $\sqrt[3]{30}$, домножим числитель и знаменатель на $(\sqrt[3]{30})^2=\sqrt[3]{900}$.

Знаменатель: $3\sqrt[3]{30} \cdot \sqrt[3]{900} = 3\sqrt[3]{27000} = 3 \cdot 30 = 90$.

Числитель: $(\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{25}-\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{15}+\sqrt[3]{10}) \cdot \sqrt[3]{900}$

$=\sqrt[3]{3600}+\sqrt[3]{8100}+\sqrt[3]{22500}-\sqrt[3]{5400}+\sqrt[3]{13500}+\sqrt[3]{9000}$

Упростим корни в числителе:

$\sqrt[3]{3600}=\sqrt[3]{8 \cdot 450}=2\sqrt[3]{450}$

$\sqrt[3]{8100}=\sqrt[3]{27 \cdot 300}=3\sqrt[3]{300}$

$\sqrt[3]{22500}=\sqrt[3]{125 \cdot 180}=5\sqrt[3]{180}$

$\sqrt[3]{5400}=\sqrt[3]{27 \cdot 200}=3\sqrt[3]{200}$

$\sqrt[3]{13500}=\sqrt[3]{125 \cdot 108}=5\sqrt[3]{108}$

$\sqrt[3]{9000}=\sqrt[3]{1000 \cdot 9}=10\sqrt[3]{9}$

Окончательный вид дроби:

$\frac{2\sqrt[3]{450}+3\sqrt[3]{300}+5\sqrt[3]{180}-3\sqrt[3]{200}+5\sqrt[3]{108}+10\sqrt[3]{9}}{90}$

Ответ: $\frac{2\sqrt[3]{450}+3\sqrt[3]{300}+5\sqrt[3]{180}-3\sqrt[3]{200}+5\sqrt[3]{108}+10\sqrt[3]{9}}{90}$

3)

Исходное выражение: $\frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt[4]{xy} + \sqrt{y}}$

Обозначим $a=\sqrt[4]{x}$ и $b=\sqrt[4]{y}$. Тогда $\sqrt{x}=a^2$, $\sqrt{y}=b^2$ и $\sqrt[4]{xy}=ab$. Знаменатель принимает вид $a^2+ab+b^2$.

Воспользуемся формулой $a^4+a^2b^2+b^4=(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)$. Домножим числитель и знаменатель на $a^2-ab+b^2 = \sqrt{x}-\sqrt[4]{xy}+\sqrt{y}$.

Знаменатель станет $a^4+a^2b^2+b^4 = (\sqrt[4]{x})^4+(\sqrt[4]{x})^2(\sqrt[4]{y})^2+(\sqrt[4]{y})^4 = x+\sqrt{xy}+y$.

Получим дробь: $\frac{\sqrt{x}-\sqrt[4]{xy}+\sqrt{y}}{x+\sqrt{xy}+y}$.

Теперь нужно избавиться от $\sqrt{xy}$ в знаменателе. Сгруппируем его как $(x+y)+\sqrt{xy}$ и домножим на сопряженное выражение $(x+y)-\sqrt{xy}$.

$\frac{\sqrt{x}-\sqrt[4]{xy}+\sqrt{y}}{(x+y)+\sqrt{xy}} \cdot \frac{(x+y)-\sqrt{xy}}{(x+y)-\sqrt{xy}} = \frac{(\sqrt{x}-\sqrt[4]{xy}+\sqrt{y})(x+y-\sqrt{xy})}{(x+y)^2-(\sqrt{xy})^2}$

Знаменатель: $(x+y)^2-xy = x^2+2xy+y^2-xy = x^2+xy+y^2$.

Это выражение рационально.

Ответ: $\frac{(\sqrt{x}-\sqrt[4]{xy}+\sqrt{y})(x+y-\sqrt{xy})}{x^2+xy+y^2}$

4)

Исходное выражение: $\frac{3}{\sqrt{x} - \sqrt[4]{xy} + \sqrt{y}}$

Аналогично предыдущему пункту, пусть $a=\sqrt[4]{x}$ и $b=\sqrt[4]{y}$. Знаменатель имеет вид $a^2-ab+b^2$.

Используя то же тождество $a^4+a^2b^2+b^4=(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)$, домножим числитель и знаменатель на $a^2+ab+b^2 = \sqrt{x}+\sqrt[4]{xy}+\sqrt{y}$.

Знаменатель станет $a^4+a^2b^2+b^4 = x+\sqrt{xy}+y$.

Получим дробь: $\frac{3(\sqrt{x}+\sqrt[4]{xy}+\sqrt{y})}{x+\sqrt{xy}+y}$.

Как и в предыдущем задании, избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив на сопряженное выражение $(x+y)-\sqrt{xy}$.

$\frac{3(\sqrt{x}+\sqrt[4]{xy}+\sqrt{y})}{(x+y)+\sqrt{xy}} \cdot \frac{(x+y)-\sqrt{xy}}{(x+y)-\sqrt{xy}} = \frac{3(\sqrt{x}+\sqrt[4]{xy}+\sqrt{y})(x+y-\sqrt{xy})}{(x+y)^2-(\sqrt{xy})^2}$

Знаменатель: $(x+y)^2-xy = x^2+2xy+y^2-xy = x^2+xy+y^2$.

Ответ: $\frac{3(\sqrt{x}+\sqrt[4]{xy}+\sqrt{y})(x+y-\sqrt{xy})}{x^2+xy+y^2}$

466. Упростить выражение:

1) $\frac{\sqrt{(x+3)^2 - 12x}}{\sqrt[4]{x^3} - \frac{3}{\sqrt[4]{x}}}$;

2) $\frac{\sqrt{a - \sqrt{4(a-1)}} + \sqrt{a + \sqrt{4(a-1)}}}{\sqrt{a^2 - 4(a-1)}}$;

3) $\left(\left(\frac{a^2 - b\sqrt{a}}{\sqrt{a} - \sqrt[3]{b}} + a\sqrt[3]{b}\right) : \left(a + \sqrt[6]{a^3b^2}\right) - \sqrt[3]{b}\right)^2$;

4) $\left(\sqrt{x + \frac{2xy}{1+y^2}} + \sqrt{x - \frac{2xy}{1+y^2}}\right) \cdot \sqrt{1 + \frac{1}{y^2}}$;

5) $\left(\sqrt[3]{\frac{x^3 + 2ax^2 + a^2x}{x-a}} - \sqrt[3]{\frac{x^3 - 2ax^2 + a^2x}{x+a}}\right)^{-1} \cdot \left(\sqrt[3]{a} + \frac{1}{2}\sqrt[3]{\frac{1}{x}}\right) - \frac{x}{a^2}$;

6) $\frac{\frac{\sqrt{3}}{2} \frac{\sqrt[4]{bx^3} + \sqrt[4]{a^2bx} + \sqrt[4]{bx}}{\sqrt{x}+\sqrt{a}} + bx + 3}{x\left(\sqrt{b} + \sqrt[3]{3x^{-1}}\right)^2}$.

1)

Упростим числитель и знаменатель дроби по отдельности.

Числитель: $\sqrt{(x+3)^2 - 12x} = \sqrt{x^2 + 6x + 9 - 12x} = \sqrt{x^2 - 6x + 9} = \sqrt{(x-3)^2} = |x-3|$.

Знаменатель: $\sqrt[4]{x^3} - \frac{3}{\sqrt[4]{x}} = \frac{(\sqrt[4]{x^3})(\sqrt[4]{x}) - 3}{\sqrt[4]{x}} = \frac{\sqrt[4]{x^4} - 3}{\sqrt[4]{x}} = \frac{|x| - 3}{\sqrt[4]{x}}$.

Область допустимых значений (ОДЗ) выражения определяется условиями: $x > 0$ (из-за корней $\sqrt[4]{x}$ и $\sqrt[4]{x^3}$ в знаменателе) и знаменатель не равен нулю, т.е. $|x|-3 \neq 0 \implies x-3 \neq 0 \implies x \neq 3$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (0, 3) \cup (3, \infty)$.

При $x>0$ имеем $|x|=x$. Исходное выражение принимает вид: $\frac{|x-3|}{\frac{x-3}{\sqrt[4]{x}}} = \frac{|x-3|}{x-3}\sqrt[4]{x}$.

Рассмотрим два случая:

1. Если $x > 3$, то $x-3 > 0$ и $|x-3| = x-3$. Выражение равно $\frac{x-3}{x-3}\sqrt[4]{x} = \sqrt[4]{x}$.

2. Если $0 < x < 3$, то $x-3 < 0$ и $|x-3| = -(x-3)$. Выражение равно $\frac{-(x-3)}{x-3}\sqrt[4]{x} = -\sqrt[4]{x}$.

Ответ: $\begin{cases} \sqrt[4]{x}, & \text{при } x > 3 \\ -\sqrt[4]{x}, & \text{при } 0 < x < 3 \end{cases}$.

2)

Преобразуем подкоренные выражения, используя формулу сложного радикала $\sqrt{A \pm \sqrt{B}}$ или выделение полного квадрата. Заметим, что $\sqrt{4(a-1)} = 2\sqrt{a-1}$.

ОДЗ: $a-1 \ge 0 \implies a \ge 1$. Также знаменатель не должен быть равен нулю: $\sqrt{a^2 - 4(a-1)} \neq 0 \implies \sqrt{a^2-4a+4} \neq 0 \implies \sqrt{(a-2)^2} \neq 0 \implies a \neq 2$. Таким образом, ОДЗ: $a \in [1, 2) \cup (2, \infty)$.

Упростим выражения в числителе