Страница 148 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

433. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, сумма которой равна $\frac{16}{3}$, содержит член, равный $\frac{1}{6}$. Отношение суммы всех членов прогрессии, стоящих до него, к сумме всех членов, стоящих после него, равно 30. Определить порядковый номер этого члена прогрессии.

Пусть $b_1$ — первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель, где $|q| < 1$. Сумма всей прогрессии $S$ определяется формулой $S = \frac{b_1}{1-q}$.

По условию задачи, сумма прогрессии равна $\frac{16}{3}$: $$ S = \frac{b_1}{1-q} = \frac{16}{3} $$

Прогрессия содержит член $b_n$, равный $\frac{1}{6}$. Формула n-го члена: $$ b_n = b_1 q^{n-1} = \frac{1}{6} $$

Сумму всей прогрессии можно представить как сумму трех частей:

• Сумма членов, стоящих до $b_n$: $S_{до} = b_1 + b_2 + \dots + b_{n-1}$.
• Сам член $b_n$.
• Сумма членов, стоящих после $b_n$: $S_{после} = b_{n+1} + b_{n+2} + \dots$.

Таким образом, $S = S_{до} + b_n + S_{после}$.

По условию, отношение суммы членов до $b_n$ к сумме членов после него равно 30: $$ \frac{S_{до}}{S_{после}} = 30 \implies S_{до} = 30 \cdot S_{после} $$

Подставим известные значения и соотношения в формулу для полной суммы: $$ S = 30 \cdot S_{после} + b_n + S_{после} $$ $$ \frac{16}{3} = 31 \cdot S_{после} + \frac{1}{6} $$

Найдем $S_{после}$: $$ 31 \cdot S_{после} = \frac{16}{3} - \frac{1}{6} $$ $$ 31 \cdot S_{после} = \frac{32}{6} - \frac{1}{6} = \frac{31}{6} $$ $$ S_{после} = \frac{1}{6} $$

Сумма членов после $b_n$ ($S_{после}$) сама по себе является бесконечно убывающей геометрической прогрессией, первым членом которой является $b_{n+1}$, а знаменатель равен $q$. $$ S_{после} = \frac{b_{n+1}}{1-q} = \frac{b_1 q^n}{1-q} $$ Это выражение можно переписать как: $$ S_{после} = \left(\frac{b_1}{1-q}\right) \cdot q^n = S \cdot q^n $$

Теперь мы можем найти $q^n$, используя известные значения $S$ и $S_{после}$: $$ \frac{1}{6} = \frac{16}{3} \cdot q^n $$ $$ q^n = \frac{1}{6} \cdot \frac{3}{16} = \frac{3}{96} = \frac{1}{32} $$

Теперь найдем знаменатель прогрессии $q$. Для этого разделим выражение для $b_n$ на выражение для $S$: $$ \frac{b_n}{S} = \frac{b_1 q^{n-1}}{b_1 / (1-q)} = q^{n-1}(1-q) $$ Подставим известные значения $b_n$ и $S$: $$ \frac{1/6}{16/3} = \frac{1}{6} \cdot \frac{3}{16} = \frac{3}{96} = \frac{1}{32} $$ Следовательно: $$ q^{n-1}(1-q) = \frac{1}{32} $$ Мы знаем, что $q^n = \frac{1}{32}$, поэтому $q^{n-1} = \frac{q^n}{q} = \frac{1}{32q}$. Подставим это в предыдущее уравнение: $$ \frac{1}{32q}(1-q) = \frac{1}{32} $$ Умножим обе части на $32q$ (мы знаем, что $q \neq 0$): $$ 1-q = q $$ $$ 1 = 2q $$ $$ q = \frac{1}{2} $$

Наконец, найдем порядковый номер $n$. Мы знаем, что $q^n = \frac{1}{32}$ и $q = \frac{1}{2}$: $$ \left(\frac{1}{2}\right)^n = \frac{1}{32} $$ Так как $32 = 2^5$, то $\frac{1}{32} = \left(\frac{1}{2}\right)^5$. $$ \left(\frac{1}{2}\right)^n = \left(\frac{1}{2}\right)^5 $$ Отсюда следует, что $n=5$.

Ответ: 5.

434. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой сумма квадратов первых $n$ членов равна сумме первых $2n$ членов, а сумма кубов $n$ членов в $3$ раза меньше суммы первых $3n$ членов.

Пусть $b_1$ — первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. По определению, для бесконечно убывающей геометрической прогрессии выполняется условие $|q| < 1$.

Сумма первых $k$ членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:$S_k = \frac{b_1(1-q^k)}{1-q}$.

Анализ первого условия задачи

Первое условие гласит, что сумма квадратов первых $n$ членов равна сумме первых $2n$ членов.

Последовательность квадратов членов исходной прогрессии, $b_1^2, b_2^2, \dots, b_n^2, \dots$, также является геометрической прогрессией. Её первый член равен $B_1 = b_1^2$, а знаменатель равен $Q_2 = q^2$. Сумма первых $n$ членов этой новой прогрессии ($S_{n, \text{кв}}$) равна:$S_{n, \text{кв}} = \frac{B_1(1-Q_2^n)}{1-Q_2} = \frac{b_1^2(1-(q^2)^n)}{1-q^2} = \frac{b_1^2(1-q^{2n})}{1-q^2}$.

Сумма первых $2n$ членов исходной прогрессии равна:$S_{2n} = \frac{b_1(1-q^{2n})}{1-q}$.

Приравниваем эти два выражения согласно условию:$\frac{b_1^2(1-q^{2n})}{1-q^2} = \frac{b_1(1-q^{2n})}{1-q}$.

Так как $b_1 \neq 0$ (иначе прогрессия тривиальна) и $|q| < 1$, то $1-q^{2n} \neq 0$ для любого $n \ge 1$. Мы можем сократить обе части уравнения на $b_1(1-q^{2n})$:$\frac{b_1}{1-q^2} = \frac{1}{1-q}$.

Используя формулу разности квадратов $1-q^2=(1-q)(1+q)$ и сокращая на $(1-q) \neq 0$, получаем первое уравнение, связывающее $b_1$ и $q$:$b_1 = 1+q$.

Анализ второго условия задачи

Второе условие гласит, что сумма кубов $n$ членов в 3 раза меньше суммы первых $3n$ членов. Это эквивалентно тому, что $3 \cdot S_{n, \text{куб}} = S_{3n}$.

Последовательность кубов членов исходной прогрессии, $b_1^3, b_2^3, \dots, b_n^3, \dots$, также является геометрической прогрессией. Её первый член $C_1 = b_1^3$, а знаменатель $Q_3 = q^3$. Сумма первых $n$ членов этой прогрессии ($S_{n, \text{куб}}$) равна:$S_{n, \text{куб}} = \frac{b_1^3(1-q^{3n})}{1-q^3}$.

Сумма первых $3n$ членов исходной прогрессии равна:$S_{3n} = \frac{b_1(1-q^{3n})}{1-q}$.

Запишем равенство из условия:$3 \cdot \frac{b_1^3(1-q^{3n})}{1-q^3} = \frac{b_1(1-q^{3n})}{1-q}$.

Сокращаем обе части на $b_1(1-q^{3n})$:$\frac{3b_1^2}{1-q^3} = \frac{1}{1-q}$.

Используя формулу разности кубов $1-q^3=(1-q)(1+q+q^2)$ и сокращая на $(1-q) \neq 0$, получаем второе уравнение:$3b_1^2 = 1+q+q^2$.

Решение системы уравнений

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $b_1$ и $q$:
1) $b_1 = 1+q$
2) $3b_1^2 = 1+q+q^2$

Подставим выражение для $b_1$ из первого уравнения во второе:$3(1+q)^2 = 1+q+q^2$.

Раскроем скобки и приведём подобные члены:$3(1+2q+q^2) = 1+q+q^2$
$3+6q+3q^2 = 1+q+q^2$
$2q^2+5q+2 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение относительно $q$. Дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$. Корни уравнения:$q = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm 3}{4}$.

Получаем два возможных значения для $q$: $q_1 = \frac{-5-3}{4} = -2$ и $q_2 = \frac{-5+3}{4} = -\frac{1}{2}$.

Поскольку прогрессия является бесконечно убывающей, должно выполняться условие $|q| < 1$. Этому условию удовлетворяет только $q = -1/2$.

Теперь найдём $b_1$ из первого уравнения: $b_1 = 1+q = 1 + (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$.

Нахождение суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Цель задачи — найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, которая вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$.

Подставим найденные значения $b_1 = 1/2$ и $q = -1/2$:$S = \frac{\frac{1}{2}}{1 - (-\frac{1}{2})} = \frac{\frac{1}{2}}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.