Страница 147 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

430. В угол, равный $60^\circ$, последовательно вписаны окружности, касающиеся друг друга (рис. 55). Радиус первой окружности равен $R_1$. Найти радиусы $R_2, R_3, ..., R_n$, ... остальных окружностей и показать, что они образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию. Доказать, что сумма $R_1 + 2(R_2 + R_3 + ... + R_n + ...)$ равна расстоянию от центра первой окружности до вершины угла.

Рис. 55

Найти радиусы R₂, R₃, ..., Rₙ, ... остальных окружностей и показать, что они образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию.

Пусть $O$ — вершина угла, равного $60^\circ$. Центры всех вписанных окружностей лежат на биссектрисе этого угла. Биссектриса делит угол $60^\circ$ на два угла по $30^\circ$.

Рассмотрим $n$-ую окружность с центром $C_n$ и радиусом $R_n$. Опустим перпендикуляр из центра $C_n$ на одну из сторон угла. Длина этого перпендикуляра равна радиусу $R_n$. Получим прямоугольный треугольник с гипотенузой $OC_n$ (расстояние от вершины угла до центра окружности) и катетом $R_n$, противолежащим углу в $30^\circ$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем:
$\sin(30^\circ) = \frac{R_n}{OC_n}$

Так как $\sin(30^\circ) = 1/2$, то расстояние от вершины угла до центра $n$-ой окружности равно:
$OC_n = \frac{R_n}{\sin(30^\circ)} = 2R_n$

Теперь рассмотрим две соседние окружности: $n$-ую и $(n+1)$-ую с радиусами $R_n$ и $R_{n+1}$ соответственно. Они касаются друг друга, поэтому расстояние между их центрами равно сумме их радиусов: $C_nC_{n+1} = R_n + R_{n+1}$.

С другой стороны, так как центры $C_n$ и $C_{n+1}$ лежат на одной прямой (биссектрисе), расстояние между ними можно выразить как разность расстояний от вершины угла $O$:
$C_nC_{n+1} = OC_n - OC_{n+1}$

Приравнивая два выражения для $C_nC_{n+1}$, получаем:
$R_n + R_{n+1} = OC_n - OC_{n+1}$

Подставим ранее найденные выражения для $OC_n$ и $OC_{n+1}$:
$R_n + R_{n+1} = 2R_n - 2R_{n+1}$

Перегруппируем члены, чтобы выразить $R_{n+1}$ через $R_n$:
$3R_{n+1} = R_n$
$R_{n+1} = \frac{1}{3}R_n$

Это соотношение показывает, что последовательность радиусов $R_1, R_2, R_3, ..., R_n, ...$ является геометрической прогрессией. Знаменатель этой прогрессии $q = 1/3$.
Поскольку $|q| = 1/3 < 1$, эта прогрессия является бесконечно убывающей.

Ответ: Радиусы окружностей образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем $q=1/3$. Каждый следующий радиус в 3 раза меньше предыдущего: $R_2 = \frac{R_1}{3}$, $R_3 = \frac{R_2}{3} = \frac{R_1}{9}$, и в общем виде $R_n = R_1 \cdot (\frac{1}{3})^{n-1}$.

Доказать, что сумма R₁ + 2(R₂ + R₃ + ... + Rₙ + ...) равна расстоянию от центра первой окружности до вершины угла.

Нам нужно доказать, что $R_1 + 2(R_2 + R_3 + \dots) = OC_1$.

Из первой части решения мы знаем, что расстояние от центра первой окружности до вершины угла равно $OC_1 = 2R_1$.

Рассмотрим сумму в скобках: $S_{geom} = R_2 + R_3 + \dots$. Это сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой первый член $b_1 = R_2$, а знаменатель $q = 1/3$.

Используем формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии $S = \frac{b_1}{1-q}$:
$S_{geom} = \frac{R_2}{1 - 1/3} = \frac{R_2}{2/3} = \frac{3}{2}R_2$

Из первой части мы также знаем, что $R_2 = \frac{1}{3}R_1$. Подставим это в выражение для суммы:
$S_{geom} = \frac{3}{2} \cdot \left(\frac{1}{3}R_1\right) = \frac{1}{2}R_1$

Теперь подставим найденное значение суммы в исходное выражение:
$R_1 + 2(R_2 + R_3 + \dots) = R_1 + 2 \cdot S_{geom} = R_1 + 2 \cdot \left(\frac{1}{2}R_1\right) = R_1 + R_1 = 2R_1$

Таким образом, мы получили, что искомая сумма равна $2R_1$. Расстояние от центра первой окружности до вершины угла, как мы выяснили ранее, также равно $OC_1 = 2R_1$.

Следовательно, $R_1 + 2(R_2 + R_3 + \dots) = OC_1$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство приведено выше.

431. Найти первый член и знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если второй её член равен 6, а сумма этой прогрессии в 8 раз меньше суммы квадратов её членов.

Обозначим первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии как $b_1$, а ее знаменатель как $q$. По определению бесконечно убывающей геометрической прогрессии, модуль ее знаменателя должен быть меньше единицы: $|q| < 1$.

Сумма такой прогрессии вычисляется по формуле:$S = \frac{b_1}{1-q}$

Рассмотрим последовательность, составленную из квадратов членов исходной прогрессии: $b_1^2, b_2^2, b_3^2, \dots$. Эта последовательность также является бесконечно убывающей геометрической прогрессией, у которой первый член равен $b_1^2$, а знаменатель равен $q^2$. Так как $|q| < 1$, то и $|q^2| < 1$.Сумма этой новой прогрессии (сумма квадратов членов исходной прогрессии) вычисляется по формуле:$S_{sq} = \frac{b_1^2}{1-q^2}$

По условиям задачи нам даны два факта:

1. Второй член прогрессии равен 6: $b_2 = 6$. Используя формулу n-го члена прогрессии $b_n = b_1 q^{n-1}$, получаем:$b_1 q = 6$

2. Сумма прогрессии в 8 раз меньше суммы квадратов ее членов: $S_{sq} = 8S$. Подставив формулы для сумм, получаем:$\frac{b_1^2}{1-q^2} = 8 \cdot \frac{b_1}{1-q}$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $b_1$ и $q$:$\begin{cases} b_1 q = 6 \\ \frac{b_1^2}{1-q^2} = \frac{8b_1}{1-q} \end{cases}$

Начнем с решения второго уравнения. Так как прогрессия существует и ее второй член не равен нулю, то и первый член $b_1 \neq 0$. Значит, мы можем разделить обе части второго уравнения на $b_1$:$\frac{b_1}{1-q^2} = \frac{8}{1-q}$

Используем формулу разности квадратов в знаменателе левой части: $1-q^2 = (1-q)(1+q)$.$\frac{b_1}{(1-q)(1+q)} = \frac{8}{1-q}$

Так как $|q| < 1$, то $1-q \neq 0$. Мы можем умножить обе части уравнения на $(1-q)$:$\frac{b_1}{1+q} = 8$Отсюда выразим $b_1$:$b_1 = 8(1+q)$

Теперь подставим это выражение для $b_1$ в первое уравнение системы ($b_1 q = 6$):$8(1+q)q = 6$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение относительно $q$:$8q^2 + 8q = 6$$8q^2 + 8q - 6 = 0$Разделим все уравнение на 2 для упрощения:$4q^2 + 4q - 3 = 0$

Найдем дискриминант:$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64$

Найдем корни уравнения:$q = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{-4 \pm 8}{8}$

Получаем два возможных значения для $q$:$q_1 = \frac{-4+8}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$$q_2 = \frac{-4-8}{8} = \frac{-12}{8} = -\frac{3}{2}$

Проверим, какое из значений удовлетворяет условию $|q| < 1$:$|q_1| = |\frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$. Это значение удовлетворяет условию, так как $\frac{1}{2} < 1$.$|q_2| = |-\frac{3}{2}| = \frac{3}{2}$. Это значение не удовлетворяет условию, так как $\frac{3}{2} > 1$.Следовательно, знаменатель прогрессии $q = \frac{1}{2}$.

Теперь найдем первый член прогрессии $b_1$, используя первое уравнение системы $b_1 q = 6$:$b_1 \cdot \frac{1}{2} = 6$$b_1 = 6 \cdot 2 = 12$

Таким образом, мы нашли искомые величины.

Ответ: первый член прогрессии равен 12, а знаменатель равен $\frac{1}{2}$.

432. Найти первый член и знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой отношение суммы кубов всех членов к сумме квадратов всех членов равно 3, а отношение суммы всех членов к сумме квадратов всех членов равно $\frac{3}{7}$.

Пусть $b_1$ — первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. По определению, для такой прогрессии выполняется условие $|q| < 1$.

Сумма всех членов прогрессии ($S$) вычисляется по формуле:$S = \frac{b_1}{1-q}$

Рассмотрим последовательность, состоящую из квадратов членов исходной прогрессии: $b_1^2, (b_1q)^2, (b_1q^2)^2, \ldots$. Это также бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, у которой первый член равен $b_1^2$, а знаменатель равен $q^2$. Её сумма ($S_2$), то есть сумма квадратов всех членов, равна:$S_2 = \frac{b_1^2}{1-q^2}$

Аналогично, последовательность, состоящая из кубов членов исходной прогрессии: $b_1^3, (b_1q)^3, (b_1q^2)^3, \ldots$ является бесконечно убывающей геометрической прогрессией с первым членом $b_1^3$ и знаменателем $q^3$. Её сумма ($S_3$), то есть сумма кубов всех членов, равна:$S_3 = \frac{b_1^3}{1-q^3}$

Согласно условиям задачи, составим систему уравнений.

1. Отношение суммы кубов всех членов к сумме квадратов всех членов равно 3:$\frac{S_3}{S_2} = \frac{\frac{b_1^3}{1-q^3}}{\frac{b_1^2}{1-q^2}} = 3$Упростим это выражение:$\frac{b_1^3}{1-q^3} \cdot \frac{1-q^2}{b_1^2} = \frac{b_1(1-q^2)}{1-q^3} = 3$Используя формулы разности квадратов и разности кубов $1-q^2 = (1-q)(1+q)$ и $1-q^3 = (1-q)(1+q+q^2)$, получаем:$\frac{b_1(1-q)(1+q)}{(1-q)(1+q+q^2)} = 3$Так как $|q| < 1$, то $q \neq 1$, и мы можем сократить дробь на $(1-q)$:$\frac{b_1(1+q)}{1+q+q^2} = 3$

2. Отношение суммы всех членов к сумме квадратов всех членов равно $\frac{3}{7}$:$\frac{S}{S_2} = \frac{\frac{b_1}{1-q}}{\frac{b_1^2}{1-q^2}} = \frac{3}{7}$Упростим это выражение:$\frac{b_1}{1-q} \cdot \frac{1-q^2}{b_1^2} = \frac{1-q^2}{b_1(1-q)} = \frac{3}{7}$$\frac{(1-q)(1+q)}{b_1(1-q)} = \frac{3}{7}$Сократим дробь на $(1-q)$:$\frac{1+q}{b_1} = \frac{3}{7}$

Мы получили систему двух уравнений с двумя неизвестными $b_1$ и $q$:$\begin{cases} \frac{b_1(1+q)}{1+q+q^2} = 3 \\ \frac{1+q}{b_1} = \frac{3}{7} \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $b_1$:$b_1 = (1+q) \cdot \frac{7}{3} = \frac{7(1+q)}{3}$

Подставим это выражение для $b_1$ в первое уравнение системы:$\frac{\frac{7(1+q)}{3} \cdot (1+q)}{1+q+q^2} = 3$$\frac{7(1+q)^2}{3(1+q+q^2)} = 3$$7(1+q)^2 = 9(1+q+q^2)$$7(1+2q+q^2) = 9+9q+9q^2$$7+14q+7q^2 = 9+9q+9q^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:$(9q^2 - 7q^2) + (9q - 14q) + (9 - 7) = 0$$2q^2 - 5q + 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$Корни уравнения:$q_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$$q_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Согласно условию, прогрессия является бесконечно убывающей, поэтому ее знаменатель должен удовлетворять условию $|q|<1$. Корень $q_1 = 2$ не подходит, так как $|2| > 1$. Корень $q_2 = \frac{1}{2}$ подходит, так как $|\frac{1}{2}| < 1$.Следовательно, знаменатель прогрессии $q = \frac{1}{2}$.

Теперь найдем первый член прогрессии $b_1$, подставив значение $q$ в выражение $b_1 = \frac{7(1+q)}{3}$:$b_1 = \frac{7(1+\frac{1}{2})}{3} = \frac{7(\frac{2}{2}+\frac{1}{2})}{3} = \frac{7(\frac{3}{2})}{3} = \frac{21/2}{3} = \frac{21}{2 \cdot 3} = \frac{7}{2}$

Итак, первый член прогрессии равен $\frac{7}{2}$, а знаменатель равен $\frac{1}{2}$.

Ответ: первый член $b_1 = \frac{7}{2}$, знаменатель $q = \frac{1}{2}$.