Страница 140 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

405. (Устно.) Выяснить, какие из данных десятичных дробей являются иррациональными числами:

1) $16,9$;

2) $7,25(4)$;

3) $99,1357911...$ (после запятой записаны подряд все нечётные числа).

Чтобы определить, какие из данных чисел являются иррациональными, необходимо проанализировать вид их десятичной записи. Рациональные числа имеют конечную или бесконечную периодическую десятичную запись. Иррациональные числа имеют бесконечную непериодическую десятичную запись.

1) 16,9

Это число представляет собой конечную десятичную дробь. Любое число с конечной десятичной записью является рациональным, так как его можно представить в виде обыкновенной дроби со знаменателем в виде степени 10. $16,9 = \frac{169}{10}$. Следовательно, это число рациональное.
Ответ: не является иррациональным.

2) 7,25(4)

Это число является бесконечной периодической десятичной дробью, что означает $7,25444...$. Любая периодическая дробь является представлением рационального числа. Её можно преобразовать в обыкновенную дробь: Пусть $x = 7,25(4)$. $100x = 725,(4)$ $1000x = 7254,(4)$ $1000x - 100x = 7254,(4) - 725,(4) \implies 900x = 6529 \implies x = \frac{6529}{900}$. Так как число представимо в виде обыкновенной дроби, оно рациональное.
Ответ: не является иррациональным.

3) 99,1357911...

В этом числе после запятой записаны подряд все нечётные натуральные числа: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, ... Полученная десятичная дробь $99,1357911131517...$ является бесконечной. Чтобы определить, является ли число рациональным, нужно проверить, является ли эта последовательность цифр периодической. Предположим, что последовательность периодическая с некоторой длиной периода $L$. Однако, в последовательности нечётных чисел встречаются числа, состоящие из любого количества девяток (например, 9, 99, 999, ... так как $10^k - 1$ — нечётное число при $k \ge 1$). Это значит, что в десятичной записи нашего числа будут встречаться блоки из девяток любой длины. Например, встретится блок из $L+1$ девяток. Такой блок не может содержаться в периоде длиной $L$. Следовательно, последовательность цифр не является периодической. Поскольку десятичная запись этого числа бесконечная и непериодическая, число является иррациональным.
Ответ: является иррациональным.

406. Установить, какая из пар чисел 5,4 и 5,5 или 5,5 и 5,6 образует десятичные приближения числа $\sqrt{31}$ с недостатком и с избытком, т. е. одно из чисел этой пары меньше $\sqrt{31}$, а другое больше $\sqrt{31}$.

Чтобы определить, какая из пар чисел образует десятичные приближения числа $\sqrt{31}$ с недостатком и с избытком, необходимо найти такую пару чисел $a$ и $b$, для которой выполняется двойное неравенство $a < \sqrt{31} < b$.

Для проверки этого неравенства, не извлекая корень, удобно возвести все его части в квадрат. Так как все рассматриваемые числа являются положительными, неравенство $a < \sqrt{31} < b$ равносильно неравенству $a^2 < 31 < b^2$.

Проверка пары 5,4 и 5,5

Проверим, выполняется ли неравенство $5,4 < \sqrt{31} < 5,5$. Для этого возведем числа 5,4 и 5,5 в квадрат и сравним результаты с числом 31.

Вычислим квадраты чисел:

$5,4^2 = 5,4 \cdot 5,4 = 29,16$

$5,5^2 = 5,5 \cdot 5,5 = 30,25$

Теперь проверим неравенство $29,16 < 31 < 30,25$.

Левая часть неравенства, $29,16 < 31$, верна. Правая часть, $31 < 30,25$, неверна. Следовательно, эта пара чисел не подходит, так как оба числа (5,4 и 5,5) меньше, чем $\sqrt{31}$.

Проверка пары 5,5 и 5,6

Проверим, выполняется ли неравенство $5,5 < \sqrt{31} < 5,6$. Возведем числа 5,5 и 5,6 в квадрат.

Квадрат числа 5,5 мы уже вычислили: $5,5^2 = 30,25$.

Вычислим квадрат числа 5,6:

$5,6^2 = 5,6 \cdot 5,6 = 31,36$

Теперь проверим неравенство $30,25 < 31 < 31,36$.

Обе части этого двойного неравенства верны, так как $30,25 < 31$ и $31 < 31,36$.

Это означает, что исходное неравенство $5,5 < \sqrt{31} < 5,6$ также верно. Таким образом, число 5,5 является приближением числа $\sqrt{31}$ с недостатком (меньше $\sqrt{31}$), а число 5,6 — приближением с избытком (больше $\sqrt{31}$).

Ответ: пара чисел 5,5 и 5,6.

407. Выяснить, какое из равенств: $|x|=x$ или $|x|=-x$ — является верным, если:

1) $x=11-2\sqrt{30}$;

2) $x=5-3\sqrt{3}$;

3) $x=10-3\sqrt{10}$.

Чтобы определить, какое из равенств, $|x|=x$ или $|x|=-x$, является верным, нужно выяснить знак выражения $x$.

По определению модуля (абсолютной величины):

• если $x \ge 0$, то $|x|=x$;
• если $x < 0$, то $|x|=-x$.

1) $x = 11 - 2\sqrt{30}$

Определим знак $x$, сравнив числа $11$ и $2\sqrt{30}$. Поскольку оба числа положительны, мы можем сравнить их квадраты.

$11^2 = 121$

$(2\sqrt{30})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{30})^2 = 4 \cdot 30 = 120$

Так как $121 > 120$, то $11 > 2\sqrt{30}$. Следовательно, разность $x = 11 - 2\sqrt{30}$ является положительным числом ($x > 0$).

Поскольку $x > 0$, верным является равенство $|x|=x$.

Ответ: $|x|=x$.

2) $x = 5 - 3\sqrt{3}$

Определим знак $x$, сравнив числа $5$ и $3\sqrt{3}$. Поскольку оба числа положительны, мы можем сравнить их квадраты.

$5^2 = 25$

$(3\sqrt{3})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 9 \cdot 3 = 27$

Так как $25 < 27$, то $5 < 3\sqrt{3}$. Следовательно, разность $x = 5 - 3\sqrt{3}$ является отрицательным числом ($x < 0$).

Поскольку $x < 0$, верным является равенство $|x|=-x$.

Ответ: $|x|=-x$.

3) $x = 10 - 3\sqrt{10}$

Определим знак $x$, сравнив числа $10$ и $3\sqrt{10}$. Поскольку оба числа положительны, мы можем сравнить их квадраты.

$10^2 = 100$

$(3\sqrt{10})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{10})^2 = 9 \cdot 10 = 90$

Так как $100 > 90$, то $10 > 3\sqrt{10}$. Следовательно, разность $x = 10 - 3\sqrt{10}$ является положительным числом ($x > 0$).

Поскольку $x > 0$, верным является равенство $|x|=x$.

Ответ: $|x|=x$.

Выяснить, каким числом (рациональным или иррациональным) является значение числового выражения (408–409).

408. 1) $(\sqrt{8} - 3)(3 + 2\sqrt{2})$;

2) $(\sqrt{27} - 2)(2 - 3\sqrt{3})$;

3) $(\sqrt{50} + 4\sqrt{2})\sqrt{2}$;

4) $(5\sqrt{3} + \sqrt{27}):\sqrt{3}$.

1) $(\sqrt{8} - 3)(3 + 2\sqrt{2})$
Сначала упростим корень в первом множителе: $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$.
Подставим полученное значение в исходное выражение:
$(2\sqrt{2} - 3)(3 + 2\sqrt{2})$
Поменяем местами слагаемые во второй скобке, чтобы увидеть формулу: $(2\sqrt{2} - 3)(2\sqrt{2} + 3)$.
Это выражение соответствует формуле разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a = 2\sqrt{2}$ и $b = 3$.
Применим формулу:
$(2\sqrt{2})^2 - 3^2 = (4 \cdot 2) - 9 = 8 - 9 = -1$.
Результат -1 является целым числом. Все целые числа являются рациональными.
Ответ: рациональное число.

2) $(\sqrt{27} - 2)(2 - 3\sqrt{3})$
Упростим корень в первом множителе: $\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$.
Подставим в выражение: $(3\sqrt{3} - 2)(2 - 3\sqrt{3})$.
Вынесем $-1$ за скобки во втором множителе: $(3\sqrt{3} - 2) \cdot (-1) \cdot (

409. 1) $(\sqrt{3}-1)^2+(\sqrt{3}+1)^2$;

2) $(\sqrt{5}-1)^2-(2\sqrt{5}+1)^2$.

1) $(\sqrt{3}-1)^2 + (\sqrt{3}+1)^2$

Для решения этого выражения воспользуемся формулами сокращенного умножения: квадратом разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и квадратом суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Раскроем каждую скобку по отдельности:

Первый член: $(\sqrt{3}-1)^2 = (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1 + 1^2 = 3 - 2\sqrt{3} + 1 = 4 - 2\sqrt{3}$.

Второй член: $(\sqrt{3}+1)^2 = (\sqrt{3})^2 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1 + 1^2 = 3 + 2\sqrt{3} + 1 = 4 + 2\sqrt{3}$.

Теперь сложим полученные результаты:

$(4 - 2\sqrt{3}) + (4 + 2\sqrt{3}) = 4 - 2\sqrt{3} + 4 + 2\sqrt{3}$.

Сгруппируем подобные слагаемые. Члены $-2\sqrt{3}$ и $2\sqrt{3}$ взаимно уничтожаются.

$(4+4) + (-2\sqrt{3} + 2\sqrt{3}) = 8 + 0 = 8$.

Ответ: 8

2) $(\sqrt{5}-1)^2 - (2\sqrt{5}+1)^2$

Для решения этого примера также применим формулы квадрата разности и квадрата суммы.

Раскроем первую скобку, используя формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(\sqrt{5}-1)^2 = (\sqrt{5})^2 - 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 1 + 1^2 = 5 - 2\sqrt{5} + 1 = 6 - 2\sqrt{5}$.

Раскроем вторую скобку, используя формулу $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(2\sqrt{5}+1)^2 = (2\sqrt{5})^2 + 2 \cdot 2\sqrt{5} \cdot 1 + 1^2 = (4 \cdot 5) + 4\sqrt{5} + 1 = 20 + 4\sqrt{5} + 1 = 21 + 4\sqrt{5}$.

Теперь вычтем второе выражение из первого. Важно не забыть поставить скобки, чтобы правильно раскрыть знаки, так как перед второй скобкой стоит знак минус:

$(6 - 2\sqrt{5}) - (21 + 4\sqrt{5}) = 6 - 2\sqrt{5} - 21 - 4\sqrt{5}$.

Сгруппируем целые числа и слагаемые с корнем:

$(6 - 21) + (-2\sqrt{5} - 4\sqrt{5}) = -15 - 6\sqrt{5}$.

Ответ: $-15 - 6\sqrt{5}$

410. Вычислить:

1) $\sqrt{63} \cdot \sqrt{28}$;

2) $\sqrt{20} \cdot \sqrt{5}$;

3) $\sqrt{50} : \sqrt{8}$;

4) $\sqrt{12} : \sqrt{27}.

1) Для вычисления произведения $\sqrt{63} \cdot \sqrt{28}$ сначала упростим каждый корень, вынеся множитель из-под знака корня.
Разложим подкоренные выражения на множители, выделяя полные квадраты:
$63 = 9 \cdot 7$
$28 = 4 \cdot 7$
Теперь вынесем множители из-под знака корня:
$\sqrt{63} = \sqrt{9 \cdot 7} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{7} = 3\sqrt{7}$
$\sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{7} = 2\sqrt{7}$
Перемножим полученные выражения:
$3\sqrt{7} \cdot 2\sqrt{7} = (3 \cdot 2) \cdot (\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}) = 6 \cdot 7 = 42$
Ответ: 42

2) Для вычисления произведения $\sqrt{20} \cdot \sqrt{5}$ воспользуемся свойством умножения корней: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$.
$\sqrt{20} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{20 \cdot 5} = \sqrt{100}$
Вычислим квадратный корень из 100:
$\sqrt{100} = 10$
Ответ: 10

3) Для вычисления частного $\sqrt{50} : \sqrt{8}$ представим его в виде дроби $\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{8}}$ и упростим каждый корень.
Разложим подкоренные выражения на множители:
$50 = 25 \cdot 2$
$8 = 4 \cdot 2$
Вынесем множители из-под знака корня:
$\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$
$\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$
Теперь выполним деление, сократив общий множитель $\sqrt{2}$:
$\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{8}} = \frac{5\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = \frac{5}{2} = 2.5$
Ответ: 2.5

4) Для вычисления частного $\sqrt{12} : \sqrt{27}$ представим его в виде дроби $\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{27}}$ и упростим каждый корень.
Разложим подкоренные выражения на множители:
$12 = 4 \cdot 3$
$27 = 9 \cdot 3$
Вынесем множители из-под знака корня:
$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$
$\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$
Теперь выполним деление, сократив общий множитель $\sqrt{3}$:
$\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{27}} = \frac{2\sqrt{3}}{3\sqrt{3}} = \frac{2}{3}$
Ответ: $\frac{2}{3}$

411. Сравнить значения выражений:

1) $\sqrt{3,9} + \sqrt{8}$ и $\sqrt{1,1} + \sqrt{17}$;

2) $\sqrt{11} - \sqrt{2,1}$ и $\sqrt{10} - \sqrt{3,1}$.

1) Сравним выражения $\sqrt{3,9}+\sqrt{8}$ и $\sqrt{1,1}+\sqrt{17}$.

Оба выражения принимают положительные значения, так как корень квадратный из положительного числа есть число положительное. Это позволяет нам сравнить их квадраты. Знак неравенства между квадратами выражений будет таким же, как и между самими выражениями.

Пусть $A = \sqrt{3,9}+\sqrt{8}$ и $B = \sqrt{1,1}+\sqrt{17}$.

Возведем в квадрат первое выражение:

$A^2 = (\sqrt{3,9}+\sqrt{8})^2 = (\sqrt{3,9})^2 + 2 \cdot \sqrt{3,9} \cdot \sqrt{8} + (\sqrt{8})^2 = 3,9 + 2\sqrt{3,9 \cdot 8} + 8 = 11,9 + 2\sqrt{31,2}$.

Возведем в квадрат второе выражение:

$B^2 = (\sqrt{1,1}+\sqrt{17})^2 = (\sqrt{1,1})^2 + 2 \cdot \sqrt{1,1} \cdot \sqrt{17} + (\sqrt{17})^2 = 1,1 + 2\sqrt{1,1 \cdot 17} + 17 = 18,1 + 2\sqrt{18,7}$.

Теперь необходимо сравнить полученные значения: $11,9 + 2\sqrt{31,2}$ и $18,1 + 2\sqrt{18,7}$.

Для упрощения вычтем из обеих частей сравнения число $11,9$. Это не изменит знак неравенства. Получим:

$2\sqrt{31,2}$ и $18,1 - 11,9 + 2\sqrt{18,7}$, что равносильно сравнению

$2\sqrt{31,2}$ и $6,2 + 2\sqrt{18,7}$.

Разделим обе части на 2:

$\sqrt{31,2}$ и $3,1 + \sqrt{18,7}$.

Обе части сравнения положительны, поэтому мы можем снова возвести их в квадрат.

Квадрат левой части: $(\sqrt{31,2})^2 = 31,2$.

Квадрат правой части: $(3,1 + \sqrt{18,7})^2 = 3,1^2 + 2 \cdot 3,1 \cdot \sqrt{18,7} + (\sqrt{18,7})^2 = 9,61 + 6,2\sqrt{18,7} + 18,7 = 28,31 + 6,2\sqrt{18,7}$.

Теперь сравним $31,2$ и $28,31 + 6,2\sqrt{18,7}$.

Перенесем $28,31$ в левую часть:

$31,2 - 28,31$ и $6,2\sqrt{18,7}$, то есть

$2,89$ и $6,2\sqrt{18,7}$.

Оценим правую часть. Мы знаем, что $\sqrt{16} < \sqrt{18,7}$, значит $4 < \sqrt{18,7}$.

Тогда $6,2\sqrt{18,7} > 6,2 \cdot 4 = 24,8$.

Поскольку $2,89 < 24,8$, то и $2,89 < 6,2\sqrt{18,7}$.

Проследив всю цепочку преобразований в обратном порядке, мы приходим к выводу, что $A^2 < B^2$. Так как $A$ и $B$ положительны, то $A < B$.

Ответ: $\sqrt{3,9}+\sqrt{8} < \sqrt{1,1}+\sqrt{17}$.

2) Сравним выражения $\sqrt{11}-\sqrt{2,1}$ и $\sqrt{10}-\sqrt{3,1}$.

Сначала убедимся, что оба выражения положительны. Так как $11 > 2,1$, то $\sqrt{11} > \sqrt{2,1}$, и разность $\sqrt{11}-\sqrt{2,1} > 0$. Аналогично, $10 > 3,1$, поэтому $\sqrt{10} > \sqrt{3,1}$, и разность $\sqrt{10}-\sqrt{3,1} > 0$.

Поскольку оба выражения положительны, мы можем сравнить их квадраты.

Пусть $C = \sqrt{11}-\sqrt{2,1}$ и $D = \sqrt{10}-\sqrt{3,1}$.

Возведем в квадрат первое выражение:

$C^2 = (\sqrt{11}-\sqrt{2,1})^2 = 11 - 2\sqrt{11 \cdot 2,1} + 2,1 = 13,1 - 2\sqrt{23,1}$.

Возведем в квадрат второе выражение:

$D^2 = (\sqrt{10}-\sqrt{3,1})^2 = 10 - 2\sqrt{10 \cdot 3,1} + 3,1 = 13,1 - 2\sqrt{31}$.

Теперь сравним $C^2$ и $D^2$, то есть $13,1 - 2\sqrt{23,1}$ и $13,1 - 2\sqrt{31}$.

Вычтем из обеих частей $13,1$. Сравнение сведется к сравнению

$-2\sqrt{23,1}$ и $-2\sqrt{31}$.

Сравним числа под корнями: $23,1 < 31$.

Функция $y=\sqrt{x}$ является возрастающей для положительных $x$, поэтому $\sqrt{23,1} < \sqrt{31}$.

Умножим обе части неравенства на отрицательное число $-2$. При этом знак неравенства изменится на противоположный:

$-2\sqrt{23,1} > -2\sqrt{31}$.

Это означает, что $13,1 - 2\sqrt{23,1} > 13,1 - 2\sqrt{31}$, то есть $C^2 > D^2$.

Так как оба исходных выражения $C$ и $D$ были положительны, из $C^2 > D^2$ следует, что $C > D$.

Ответ: $\sqrt{11}-\sqrt{2,1} > \sqrt{10}-\sqrt{3,1}$.

412. Вычислить:

1) $\sqrt{\left(\sqrt{7-2\sqrt{10}}+\sqrt{2}\right)}\cdot\sqrt{5}$;

2) $\sqrt{\left(\sqrt{16-6\sqrt{7}}+\sqrt{7}\right)}\cdot3$;

3) $\sqrt{\left(\sqrt{8+2\sqrt{15}}-\sqrt{8-2\sqrt{15}}\right)}\cdot2+7$.

1) Вычислим выражение $\sqrt{(\sqrt{7-2\sqrt{10}} + \sqrt{2}) \cdot \sqrt{5}}$.
Сначала упростим внутренний сложный радикал $\sqrt{7-2\sqrt{10}}$. Для этого применим формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Мы ищем такие числа $a$ и $b$, что $a^2+b^2=7$ и $2ab=2\sqrt{10}$, откуда $ab=\sqrt{10}$.
Можно заметить, что $10 = 5 \cdot 2$. Попробуем взять $a=\sqrt{5}$ и $b=\sqrt{2}$.
Проверим сумму квадратов: $a^2+b^2=(\sqrt{5})^2+(\sqrt{2})^2=5+2=7$. Это соответствует нашему условию.
Значит, $7-2\sqrt{10} = (\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{5}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (\sqrt{5}-\sqrt{2})^2$.
Тогда $\sqrt{7-2\sqrt{10}} = \sqrt{(\sqrt{5}-\sqrt{2})^2} = |\sqrt{5}-\sqrt{2}|$. Поскольку $\sqrt{5} > \sqrt{2}$, модуль равен $\sqrt{5}-\sqrt{2}$.
Теперь подставим это значение в исходное выражение:
$\sqrt{((\sqrt{5}-\sqrt{2}) + \sqrt{2}) \cdot \sqrt{5}}$
Упростим выражение в скобках: $(\sqrt{5}-\sqrt{2}) + \sqrt{2} = \sqrt{5}$.
Выражение принимает вид: $\sqrt{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \sqrt{5}$.
Ответ: $\sqrt{5}$

2) Вычислим выражение $\sqrt{(\sqrt{16-6\sqrt{7}} + \sqrt{7}) \cdot 3}$.
Сначала упростим радикал $\sqrt{16-6\sqrt{7}}$. Чтобы использовать формулу $(a-b)^2$, нам нужен член вида $-2ab$.
Преобразуем $6\sqrt{7}$: $6\sqrt{7} = 2 \cdot 3\sqrt{7} = 2\sqrt{3^2 \cdot 7} = 2\sqrt{63}$.
Теперь выражение под корнем имеет вид $16 - 2\sqrt{63}$.
Ищем такие $a$ и $b$, что $a^2+b^2=16$ и $ab=\sqrt{63}$.
Разложим $63$ на множители: $63 = 9 \cdot 7$. Возьмем $a^2=9$ и $b^2=7$, тогда $a=3$ и $b=\sqrt{7}$.
Проверим сумму квадратов: $a^2+b^2=3^2+(\sqrt{7})^2=9+7=16$. Условие выполняется.
Следовательно, $16-6\sqrt{7} = (3-\sqrt{7})^2$.
Тогда $\sqrt{16-6\sqrt{7}} = \sqrt{(3-\sqrt{7})^2} = |3-\sqrt{7}|$. Так как $3=\sqrt{9}$ и $\sqrt{9} > \sqrt{7}$, то $3-\sqrt{7} > 0$, и модуль равен $3-\sqrt{7}$.
Подставим полученное значение в исходное выражение:
$\sqrt{((3-\sqrt{7}) + \sqrt{7}) \cdot 3}$
Упростим выражение в скобках: $(3-\sqrt{7}) + \sqrt{7} = 3$.
В итоге получаем: $\sqrt{3 \cdot 3} = \sqrt{9} = 3$.
Ответ: 3

3) Вычислим выражение $\sqrt{(\sqrt{8+2\sqrt{15}} - \sqrt{8-2\sqrt{15}}) \cdot 2 + 7}$.
Упростим каждый из сложных радикалов по формулам $\sqrt{A \pm \sqrt{B}} = \sqrt{\frac{A+\sqrt{A^2-B}}{2}} \pm \sqrt{\frac{A-\sqrt{A^2-B}}{2}}$ или подбором.
Для $\sqrt{8+2\sqrt{15}} = \sqrt{8+\sqrt{60}}$: ищем $a, b$ такие, что $a^2+b^2=8$ и $2ab=2\sqrt{15}$, то есть $ab=\sqrt{15}$. $15=5 \cdot 3$, $5+3=8$. Значит, $\sqrt{8+2\sqrt{15}} = \sqrt{(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2} = \sqrt{5}+\sqrt{3}$.
Для $\sqrt{8-2\sqrt{15}}$: аналогично, $\sqrt{8-2\sqrt{15}} = \sqrt{(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2} = |\sqrt{5}-\sqrt{3}| = \sqrt{5}-\sqrt{3}$.
Подставим упрощенные выражения в исходное:
$\sqrt{((\sqrt{5}+\sqrt{3}) - (\sqrt{5}-\sqrt{3})) \cdot 2 + 7}$
Упростим выражение в скобках:
$(\sqrt{5}+\sqrt{3}) - (\sqrt{5}-\sqrt{3}) = \sqrt{5}+\sqrt{3}-\sqrt{5}+\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$.
Теперь выражение под внешним корнем имеет вид:
$(2\sqrt{3}) \cdot 2 + 7 = 4\sqrt{3} + 7$.
Получаем $\sqrt{7+4\sqrt{3}}$. Упростим и этот радикал.
Представим $4\sqrt{3}$ как $2\sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{12}$.
Выражение становится $\sqrt{7+2\sqrt{12}}$. Ищем $a, b$ такие, что $a^2+b^2=7$ и $ab=\sqrt{12}$.
$12=4 \cdot 3$, $4+3=7$. Значит, $a=\sqrt{4}=2$ и $b=\sqrt{3}$.
Следовательно, $\sqrt{7+2\sqrt{12}} = \sqrt{(2+\sqrt{3})^2} = 2+\sqrt{3}$.
Ответ: $2+\sqrt{3}$