Номер 410, страница 140 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

410. Вычислить:

1) $\sqrt{63} \cdot \sqrt{28}$;

2) $\sqrt{20} \cdot \sqrt{5}$;

3) $\sqrt{50} : \sqrt{8}$;

4) $\sqrt{12} : \sqrt{27}.

1) Для вычисления произведения $\sqrt{63} \cdot \sqrt{28}$ сначала упростим каждый корень, вынеся множитель из-под знака корня.
Разложим подкоренные выражения на множители, выделяя полные квадраты:
$63 = 9 \cdot 7$
$28 = 4 \cdot 7$
Теперь вынесем множители из-под знака корня:
$\sqrt{63} = \sqrt{9 \cdot 7} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{7} = 3\sqrt{7}$
$\sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{7} = 2\sqrt{7}$
Перемножим полученные выражения:
$3\sqrt{7} \cdot 2\sqrt{7} = (3 \cdot 2) \cdot (\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}) = 6 \cdot 7 = 42$
Ответ: 42

2) Для вычисления произведения $\sqrt{20} \cdot \sqrt{5}$ воспользуемся свойством умножения корней: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$.
$\sqrt{20} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{20 \cdot 5} = \sqrt{100}$
Вычислим квадратный корень из 100:
$\sqrt{100} = 10$
Ответ: 10

3) Для вычисления частного $\sqrt{50} : \sqrt{8}$ представим его в виде дроби $\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{8}}$ и упростим каждый корень.
Разложим подкоренные выражения на множители:
$50 = 25 \cdot 2$
$8 = 4 \cdot 2$
Вынесем множители из-под знака корня:
$\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$
$\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$
Теперь выполним деление, сократив общий множитель $\sqrt{2}$:
$\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{8}} = \frac{5\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = \frac{5}{2} = 2.5$
Ответ: 2.5

4) Для вычисления частного $\sqrt{12} : \sqrt{27}$ представим его в виде дроби $\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{27}}$ и упростим каждый корень.
Разложим подкоренные выражения на множители:
$12 = 4 \cdot 3$
$27 = 9 \cdot 3$
Вынесем множители из-под знака корня:
$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$
$\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$
Теперь выполним деление, сократив общий множитель $\sqrt{3}$:
$\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{27}} = \frac{2\sqrt{3}}{3\sqrt{3}} = \frac{2}{3}$
Ответ: $\frac{2}{3}$