Номер 413, страница 141 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

413. Выписать из указанных ниже чисел те и только те, которые принадлежат интервалу $(\sqrt{2}; \sqrt{3})$:

1,41; 1,4143; 1,42; 1,41421; 1,73; 1,7320; 1,74; 1,7321.

Чтобы определить, какие из предложенных чисел принадлежат открытому интервалу $(\sqrt{2}; \sqrt{3})$, необходимо сравнить каждое число с границами интервала. Число $x$ принадлежит данному интервалу, если оно строго больше $\sqrt{2}$ и строго меньше $\sqrt{3}$. Это можно записать в виде двойного неравенства: $\sqrt{2} < x < \sqrt{3}$.

Так как все предложенные числа и границы интервала являются положительными, мы можем возвести все части неравенства в квадрат, не меняя его знака. Таким образом, неравенство $\sqrt{2} < x < \sqrt{3}$ равносильно неравенству $2 < x^2 < 3$. Этот метод позволяет избежать неточностей, связанных с округлением иррациональных чисел.

Проверим каждое из данных чисел, возводя его в квадрат и сравнивая результат с числами 2 и 3.

1,41

Возведем в квадрат: $1,41^2 = 1,9881$.
Поскольку $1,9881 < 2$, то $1,41 < \sqrt{2}$. Следовательно, число 1,41 не принадлежит заданному интервалу.

1,4143

Возведем в квадрат: $1,4143^2 = 2,00024449$.
Поскольку $2 < 2,00024449 < 3$, то $\sqrt{2} < 1,4143 < \sqrt{3}$. Следовательно, число 1,4143 принадлежит заданному интервалу.

1,42

Возведем в квадрат: $1,42^2 = 2,0164$.
Поскольку $2 < 2,0164 < 3$, то $\sqrt{2} < 1,42 < \sqrt{3}$. Следовательно, число 1,42 принадлежит заданному интервалу.

1,41421

Возведем в квадрат: $1,41421^2 = 1,9999899241$.
Поскольку $1,9999899241 < 2$, то $1,41421 < \sqrt{2}$. Следовательно, число 1,41421 не принадлежит заданному интервалу.

1,73

Возведем в квадрат: $1,73^2 = 2,9929$.
Поскольку $2 < 2,9929 < 3$, то $\sqrt{2} < 1,73 < \sqrt{3}$. Следовательно, число 1,73 принадлежит заданному интервалу.

1,7320

Возведем в квадрат: $1,7320^2 = 2,999824$.
Поскольку $2 < 2,999824 < 3$, то $\sqrt{2} < 1,7320 < \sqrt{3}$. Следовательно, число 1,7320 принадлежит заданному интервалу.

1,74

Возведем в квадрат: $1,74^2 = 3,0276$.
Поскольку $3,0276 > 3$, то $1,74 > \sqrt{3}$. Следовательно, число 1,74 не принадлежит заданному интервалу.

1,7321

Возведем в квадрат: $1,7321^2 = 3,00017041$.
Поскольку $3,00017041 > 3$, то $1,7321 > \sqrt{3}$. Следовательно, число 1,7321 не принадлежит заданному интервалу.

Таким образом, из предложенного списка чисел интервалу $(\sqrt{2}; \sqrt{3})$ принадлежат только те, которые удовлетворяют условию.

Ответ: 1,4143; 1,42; 1,73; 1,7320.