Номер 412, страница 140 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

412. Вычислить:

1) $\sqrt{\left(\sqrt{7-2\sqrt{10}}+\sqrt{2}\right)}\cdot\sqrt{5}$;

2) $\sqrt{\left(\sqrt{16-6\sqrt{7}}+\sqrt{7}\right)}\cdot3$;

3) $\sqrt{\left(\sqrt{8+2\sqrt{15}}-\sqrt{8-2\sqrt{15}}\right)}\cdot2+7$.

1) Вычислим выражение $\sqrt{(\sqrt{7-2\sqrt{10}} + \sqrt{2}) \cdot \sqrt{5}}$.
Сначала упростим внутренний сложный радикал $\sqrt{7-2\sqrt{10}}$. Для этого применим формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Мы ищем такие числа $a$ и $b$, что $a^2+b^2=7$ и $2ab=2\sqrt{10}$, откуда $ab=\sqrt{10}$.
Можно заметить, что $10 = 5 \cdot 2$. Попробуем взять $a=\sqrt{5}$ и $b=\sqrt{2}$.
Проверим сумму квадратов: $a^2+b^2=(\sqrt{5})^2+(\sqrt{2})^2=5+2=7$. Это соответствует нашему условию.
Значит, $7-2\sqrt{10} = (\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{5}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (\sqrt{5}-\sqrt{2})^2$.
Тогда $\sqrt{7-2\sqrt{10}} = \sqrt{(\sqrt{5}-\sqrt{2})^2} = |\sqrt{5}-\sqrt{2}|$. Поскольку $\sqrt{5} > \sqrt{2}$, модуль равен $\sqrt{5}-\sqrt{2}$.
Теперь подставим это значение в исходное выражение:
$\sqrt{((\sqrt{5}-\sqrt{2}) + \sqrt{2}) \cdot \sqrt{5}}$
Упростим выражение в скобках: $(\sqrt{5}-\sqrt{2}) + \sqrt{2} = \sqrt{5}$.
Выражение принимает вид: $\sqrt{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \sqrt{5}$.
Ответ: $\sqrt{5}$

2) Вычислим выражение $\sqrt{(\sqrt{16-6\sqrt{7}} + \sqrt{7}) \cdot 3}$.
Сначала упростим радикал $\sqrt{16-6\sqrt{7}}$. Чтобы использовать формулу $(a-b)^2$, нам нужен член вида $-2ab$.
Преобразуем $6\sqrt{7}$: $6\sqrt{7} = 2 \cdot 3\sqrt{7} = 2\sqrt{3^2 \cdot 7} = 2\sqrt{63}$.
Теперь выражение под корнем имеет вид $16 - 2\sqrt{63}$.
Ищем такие $a$ и $b$, что $a^2+b^2=16$ и $ab=\sqrt{63}$.
Разложим $63$ на множители: $63 = 9 \cdot 7$. Возьмем $a^2=9$ и $b^2=7$, тогда $a=3$ и $b=\sqrt{7}$.
Проверим сумму квадратов: $a^2+b^2=3^2+(\sqrt{7})^2=9+7=16$. Условие выполняется.
Следовательно, $16-6\sqrt{7} = (3-\sqrt{7})^2$.
Тогда $\sqrt{16-6\sqrt{7}} = \sqrt{(3-\sqrt{7})^2} = |3-\sqrt{7}|$. Так как $3=\sqrt{9}$ и $\sqrt{9} > \sqrt{7}$, то $3-\sqrt{7} > 0$, и модуль равен $3-\sqrt{7}$.
Подставим полученное значение в исходное выражение:
$\sqrt{((3-\sqrt{7}) + \sqrt{7}) \cdot 3}$
Упростим выражение в скобках: $(3-\sqrt{7}) + \sqrt{7} = 3$.
В итоге получаем: $\sqrt{3 \cdot 3} = \sqrt{9} = 3$.
Ответ: 3

3) Вычислим выражение $\sqrt{(\sqrt{8+2\sqrt{15}} - \sqrt{8-2\sqrt{15}}) \cdot 2 + 7}$.
Упростим каждый из сложных радикалов по формулам $\sqrt{A \pm \sqrt{B}} = \sqrt{\frac{A+\sqrt{A^2-B}}{2}} \pm \sqrt{\frac{A-\sqrt{A^2-B}}{2}}$ или подбором.
Для $\sqrt{8+2\sqrt{15}} = \sqrt{8+\sqrt{60}}$: ищем $a, b$ такие, что $a^2+b^2=8$ и $2ab=2\sqrt{15}$, то есть $ab=\sqrt{15}$. $15=5 \cdot 3$, $5+3=8$. Значит, $\sqrt{8+2\sqrt{15}} = \sqrt{(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2} = \sqrt{5}+\sqrt{3}$.
Для $\sqrt{8-2\sqrt{15}}$: аналогично, $\sqrt{8-2\sqrt{15}} = \sqrt{(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2} = |\sqrt{5}-\sqrt{3}| = \sqrt{5}-\sqrt{3}$.
Подставим упрощенные выражения в исходное:
$\sqrt{((\sqrt{5}+\sqrt{3}) - (\sqrt{5}-\sqrt{3})) \cdot 2 + 7}$
Упростим выражение в скобках:
$(\sqrt{5}+\sqrt{3}) - (\sqrt{5}-\sqrt{3}) = \sqrt{5}+\sqrt{3}-\sqrt{5}+\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$.
Теперь выражение под внешним корнем имеет вид:
$(2\sqrt{3}) \cdot 2 + 7 = 4\sqrt{3} + 7$.
Получаем $\sqrt{7+4\sqrt{3}}$. Упростим и этот радикал.
Представим $4\sqrt{3}$ как $2\sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{12}$.
Выражение становится $\sqrt{7+2\sqrt{12}}$. Ищем $a, b$ такие, что $a^2+b^2=7$ и $ab=\sqrt{12}$.
$12=4 \cdot 3$, $4+3=7$. Значит, $a=\sqrt{4}=2$ и $b=\sqrt{3}$.
Следовательно, $\sqrt{7+2\sqrt{12}} = \sqrt{(2+\sqrt{3})^2} = 2+\sqrt{3}$.
Ответ: $2+\sqrt{3}$