Номер 411, страница 140 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

411. Сравнить значения выражений:

1) $\sqrt{3,9} + \sqrt{8}$ и $\sqrt{1,1} + \sqrt{17}$;

2) $\sqrt{11} - \sqrt{2,1}$ и $\sqrt{10} - \sqrt{3,1}$.

1) Сравним выражения $\sqrt{3,9}+\sqrt{8}$ и $\sqrt{1,1}+\sqrt{17}$.

Оба выражения принимают положительные значения, так как корень квадратный из положительного числа есть число положительное. Это позволяет нам сравнить их квадраты. Знак неравенства между квадратами выражений будет таким же, как и между самими выражениями.

Пусть $A = \sqrt{3,9}+\sqrt{8}$ и $B = \sqrt{1,1}+\sqrt{17}$.

Возведем в квадрат первое выражение:

$A^2 = (\sqrt{3,9}+\sqrt{8})^2 = (\sqrt{3,9})^2 + 2 \cdot \sqrt{3,9} \cdot \sqrt{8} + (\sqrt{8})^2 = 3,9 + 2\sqrt{3,9 \cdot 8} + 8 = 11,9 + 2\sqrt{31,2}$.

Возведем в квадрат второе выражение:

$B^2 = (\sqrt{1,1}+\sqrt{17})^2 = (\sqrt{1,1})^2 + 2 \cdot \sqrt{1,1} \cdot \sqrt{17} + (\sqrt{17})^2 = 1,1 + 2\sqrt{1,1 \cdot 17} + 17 = 18,1 + 2\sqrt{18,7}$.

Теперь необходимо сравнить полученные значения: $11,9 + 2\sqrt{31,2}$ и $18,1 + 2\sqrt{18,7}$.

Для упрощения вычтем из обеих частей сравнения число $11,9$. Это не изменит знак неравенства. Получим:

$2\sqrt{31,2}$ и $18,1 - 11,9 + 2\sqrt{18,7}$, что равносильно сравнению

$2\sqrt{31,2}$ и $6,2 + 2\sqrt{18,7}$.

Разделим обе части на 2:

$\sqrt{31,2}$ и $3,1 + \sqrt{18,7}$.

Обе части сравнения положительны, поэтому мы можем снова возвести их в квадрат.

Квадрат левой части: $(\sqrt{31,2})^2 = 31,2$.

Квадрат правой части: $(3,1 + \sqrt{18,7})^2 = 3,1^2 + 2 \cdot 3,1 \cdot \sqrt{18,7} + (\sqrt{18,7})^2 = 9,61 + 6,2\sqrt{18,7} + 18,7 = 28,31 + 6,2\sqrt{18,7}$.

Теперь сравним $31,2$ и $28,31 + 6,2\sqrt{18,7}$.

Перенесем $28,31$ в левую часть:

$31,2 - 28,31$ и $6,2\sqrt{18,7}$, то есть

$2,89$ и $6,2\sqrt{18,7}$.

Оценим правую часть. Мы знаем, что $\sqrt{16} < \sqrt{18,7}$, значит $4 < \sqrt{18,7}$.

Тогда $6,2\sqrt{18,7} > 6,2 \cdot 4 = 24,8$.

Поскольку $2,89 < 24,8$, то и $2,89 < 6,2\sqrt{18,7}$.

Проследив всю цепочку преобразований в обратном порядке, мы приходим к выводу, что $A^2 < B^2$. Так как $A$ и $B$ положительны, то $A < B$.

Ответ: $\sqrt{3,9}+\sqrt{8} < \sqrt{1,1}+\sqrt{17}$.

2) Сравним выражения $\sqrt{11}-\sqrt{2,1}$ и $\sqrt{10}-\sqrt{3,1}$.

Сначала убедимся, что оба выражения положительны. Так как $11 > 2,1$, то $\sqrt{11} > \sqrt{2,1}$, и разность $\sqrt{11}-\sqrt{2,1} > 0$. Аналогично, $10 > 3,1$, поэтому $\sqrt{10} > \sqrt{3,1}$, и разность $\sqrt{10}-\sqrt{3,1} > 0$.

Поскольку оба выражения положительны, мы можем сравнить их квадраты.

Пусть $C = \sqrt{11}-\sqrt{2,1}$ и $D = \sqrt{10}-\sqrt{3,1}$.

Возведем в квадрат первое выражение:

$C^2 = (\sqrt{11}-\sqrt{2,1})^2 = 11 - 2\sqrt{11 \cdot 2,1} + 2,1 = 13,1 - 2\sqrt{23,1}$.

Возведем в квадрат второе выражение:

$D^2 = (\sqrt{10}-\sqrt{3,1})^2 = 10 - 2\sqrt{10 \cdot 3,1} + 3,1 = 13,1 - 2\sqrt{31}$.

Теперь сравним $C^2$ и $D^2$, то есть $13,1 - 2\sqrt{23,1}$ и $13,1 - 2\sqrt{31}$.

Вычтем из обеих частей $13,1$. Сравнение сведется к сравнению

$-2\sqrt{23,1}$ и $-2\sqrt{31}$.

Сравним числа под корнями: $23,1 < 31$.

Функция $y=\sqrt{x}$ является возрастающей для положительных $x$, поэтому $\sqrt{23,1} < \sqrt{31}$.

Умножим обе части неравенства на отрицательное число $-2$. При этом знак неравенства изменится на противоположный:

$-2\sqrt{23,1} > -2\sqrt{31}$.

Это означает, что $13,1 - 2\sqrt{23,1} > 13,1 - 2\sqrt{31}$, то есть $C^2 > D^2$.

Так как оба исходных выражения $C$ и $D$ были положительны, из $C^2 > D^2$ следует, что $C > D$.

Ответ: $\sqrt{11}-\sqrt{2,1} > \sqrt{10}-\sqrt{3,1}$.