Номер 418, страница 146 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава IV. Степень с действительным показателем. §2. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия - номер 418, страница 146.

Условие.

418. Найти сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, если:

1) $b_4 = 88, q = 2;$

2) $b_1 = 11, b_4 = 88.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения задачи нам понадобятся две основные формулы для геометрической прогрессии:

• Формула n-го члена: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ – первый член, $q$ – знаменатель прогрессии.
• Формула суммы первых n членов: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.

В обоих случаях нам нужно найти сумму первых пяти членов, то есть $S_5$.

1)

Дано: $b_4 = 88$, $q = 2$.

Чтобы найти сумму $S_5$, нам нужно знать первый член прогрессии $b_1$ и знаменатель $q$. Знаменатель нам известен, найдем $b_1$.

Используем формулу n-го члена для $n=4$:

$b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3$

Подставим известные значения в формулу:

$88 = b_1 \cdot 2^3$

$88 = b_1 \cdot 8$

Отсюда выразим и вычислим $b_1$:

$b_1 = \frac{88}{8} = 11$

Теперь у нас есть все необходимое для нахождения суммы первых пяти членов ($b_1 = 11, q = 2, n=5$):

$S_5 = \frac{b_1(q^5 - 1)}{q - 1} = \frac{11(2^5 - 1)}{2 - 1}$

$S_5 = \frac{11(32 - 1)}{1} = 11 \cdot 31 = 341$

Ответ: 341

2)

Дано: $b_1 = 11$, $b_4 = 88$.

Чтобы найти сумму $S_5$, нам нужно знать первый член прогрессии $b_1$ и знаменатель $q$. Первый член нам известен, найдем $q$.

Используем формулу n-го члена для $n=4$:

$b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3$

Подставим известные значения в формулу:

$88 = 11 \cdot q^3$

Отсюда выразим и вычислим $q^3$:

$q^3 = \frac{88}{11} = 8$

Найдем $q$, извлекая кубический корень:

$q = \sqrt[3]{8} = 2$

Теперь у нас есть все необходимое для нахождения суммы первых пяти членов ($b_1 = 11, q = 2, n=5$):

$S_5 = \frac{b_1(q^5 - 1)}{q - 1} = \frac{11(2^5 - 1)}{2 - 1}$

$S_5 = \frac{11(32 - 1)}{1} = 11 \cdot 31 = 341$

Ответ: 341