Номер 420, страница 146 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

420. Выяснить, является ли геометрическая прогрессия бесконечно убывающей, если:

1) $b_1 = 40, b_9 = -20;$

2) $b_7 = 12, b_{11} = \frac{3}{4};$

3) $b_7 = -30, b_6 = 15;$

4) $b_5 = 9, b_{10} = -\frac{1}{27}.$

Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если ее знаменатель $q$ по модулю меньше единицы, то есть $|q| < 1$. Чтобы ответить на вопрос, необходимо найти знаменатель прогрессии $q$ для каждого случая и проверить это условие.

Общая формула для $n$-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Из нее следует, что $b_m = b_n \cdot q^{m-n}$.

1) Дано: $b_1 = 40$, $b_9 = -20$.

Воспользуемся формулой $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ для $n=9$:

$b_9 = b_1 \cdot q^{9-1}$

$-20 = 40 \cdot q^8$

Разделим обе части уравнения на 40:

$q^8 = \frac{-20}{40} = -\frac{1}{2}$

В области действительных чисел это уравнение не имеет решений, так как четная степень ($8$) любого действительного числа не может быть отрицательной. Это означает, что не существует геометрической прогрессии с действительными членами, удовлетворяющей заданным условиям. Следовательно, она не может быть бесконечно убывающей.

Ответ: нет, не является.

2) Дано: $b_7 = 12$, $b_{11} = \frac{3}{4}$.

Воспользуемся формулой $b_m = b_n \cdot q^{m-n}$ для $m=11$ и $n=7$:

$b_{11} = b_7 \cdot q^{11-7}$

$\frac{3}{4} = 12 \cdot q^4$

Разделим обе части на 12:

$q^4 = \frac{3}{4 \cdot 12} = \frac{3}{48} = \frac{1}{16}$

Из этого уравнения следует, что $q = \frac{1}{2}$ или $q = -\frac{1}{2}$. В обоих случаях модуль знаменателя равен:

$|q| = \left|\pm\frac{1}{2}\right| = \frac{1}{2}$

Так как $|q| = \frac{1}{2} < 1$, данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей.

Ответ: да, является.

3) Дано: $b_7 = -30$, $b_6 = 15$.

Знаменатель $q$ можно найти как отношение последующего члена к предыдущему:

$q = \frac{b_7}{b_6}$

$q = \frac{-30}{15} = -2$

Проверим условие для бесконечно убывающей прогрессии:

$|q| = |-2| = 2$

Так как $|q| = 2 > 1$, данная прогрессия не является бесконечно убывающей.

Ответ: нет, не является.

4) Дано: $b_5 = 9$, $b_{10} = -\frac{1}{27}$.

Воспользуемся формулой $b_m = b_n \cdot q^{m-n}$ для $m=10$ и $n=5$:

$b_{10} = b_5 \cdot q^{10-5}$

$-\frac{1}{27} = 9 \cdot q^5$

Разделим обе части на 9:

$q^5 = \frac{-1}{27 \cdot 9} = -\frac{1}{243}$

Поскольку $243 = 3^5$, мы можем переписать уравнение как:

$q^5 = \left(-\frac{1}{3}\right)^5$

Отсюда находим знаменатель: $q = -\frac{1}{3}$.

Проверим условие для бесконечно убывающей прогрессии:

$|q| = \left|-\frac{1}{3}\right| = \frac{1}{3}$

Так как $|q| = \frac{1}{3} < 1$, данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей.

Ответ: да, является.