Номер 425, страница 146 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

425. Выяснить, является ли последовательность бесконечно убывающей геометрической прогрессией, если она задана формулой n-го члена:

1) $b_n = 3 \cdot (-2)^n$;

2) $b_n = -5 \cdot 4^n$;

3) $b_n = 8 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^{n-1}$;

4) $b_n = 3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}$.

Геометрическая прогрессия $(b_n)$ называется бесконечно убывающей, если модуль ее знаменателя $q$ меньше единицы, то есть $|q| < 1$.

Для каждой последовательности, заданной формулой n-го члена, мы сначала определим, является ли она геометрической прогрессией, найдем ее знаменатель $q$, а затем проверим условие $|q| < 1$.

1) $b_n = 3 \cdot (-2)^n$

Чтобы проверить, является ли последовательность геометрической прогрессией, найдем отношение последующего члена к предыдущему: $q = \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{3 \cdot (-2)^{n+1}}{3 \cdot (-2)^n} = \frac{(-2)^{n+1}}{(-2)^n} = (-2)^{n+1-n} = -2$.

Отношение является постоянным числом, следовательно, последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q = -2$.

Теперь проверим условие для бесконечно убывающей геометрической прогрессии: $|q| = |-2| = 2$.

Так как $2 > 1$, условие $|q| < 1$ не выполняется. Следовательно, данная последовательность не является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

Ответ: нет.

2) $b_n = -5 \cdot 4^n$

Найдем знаменатель прогрессии: $q = \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{-5 \cdot 4^{n+1}}{-5 \cdot 4^n} = \frac{4^{n+1}}{4^n} = 4^{n+1-n} = 4$.

Последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q = 4$.

Проверим условие $|q| < 1$: $|q| = |4| = 4$.

Так как $4 > 1$, условие не выполняется. Следовательно, данная последовательность не является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

Ответ: нет.

3) $b_n = 8 \cdot (-\frac{1}{3})^{n-1}$

Формула n-го члена уже представлена в стандартном виде для геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Из формулы видно, что первый член $b_1 = 8$ и знаменатель $q = -\frac{1}{3}$.

Проверим условие $|q| < 1$: $|q| = |-\frac{1}{3}| = \frac{1}{3}$.

Так как $\frac{1}{3} < 1$, условие выполняется. Следовательно, данная последовательность является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

Ответ: да.

4) $b_n = 3 \cdot (-\frac{1}{2})^{n-1}$

Данная формула также представлена в стандартном виде $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Отсюда, первый член $b_1 = 3$ и знаменатель $q = -\frac{1}{2}$.

Проверим условие $|q| < 1$: $|q| = |-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$.

Так как $\frac{1}{2} < 1$, условие выполняется. Следовательно, данная последовательность является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

Ответ: да.