Номер 432, страница 147 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

432. Найти первый член и знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой отношение суммы кубов всех членов к сумме квадратов всех членов равно 3, а отношение суммы всех членов к сумме квадратов всех членов равно $\frac{3}{7}$.

Пусть $b_1$ — первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. По определению, для такой прогрессии выполняется условие $|q| < 1$.

Сумма всех членов прогрессии ($S$) вычисляется по формуле:$S = \frac{b_1}{1-q}$

Рассмотрим последовательность, состоящую из квадратов членов исходной прогрессии: $b_1^2, (b_1q)^2, (b_1q^2)^2, \ldots$. Это также бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, у которой первый член равен $b_1^2$, а знаменатель равен $q^2$. Её сумма ($S_2$), то есть сумма квадратов всех членов, равна:$S_2 = \frac{b_1^2}{1-q^2}$

Аналогично, последовательность, состоящая из кубов членов исходной прогрессии: $b_1^3, (b_1q)^3, (b_1q^2)^3, \ldots$ является бесконечно убывающей геометрической прогрессией с первым членом $b_1^3$ и знаменателем $q^3$. Её сумма ($S_3$), то есть сумма кубов всех членов, равна:$S_3 = \frac{b_1^3}{1-q^3}$

Согласно условиям задачи, составим систему уравнений.

1. Отношение суммы кубов всех членов к сумме квадратов всех членов равно 3:$\frac{S_3}{S_2} = \frac{\frac{b_1^3}{1-q^3}}{\frac{b_1^2}{1-q^2}} = 3$Упростим это выражение:$\frac{b_1^3}{1-q^3} \cdot \frac{1-q^2}{b_1^2} = \frac{b_1(1-q^2)}{1-q^3} = 3$Используя формулы разности квадратов и разности кубов $1-q^2 = (1-q)(1+q)$ и $1-q^3 = (1-q)(1+q+q^2)$, получаем:$\frac{b_1(1-q)(1+q)}{(1-q)(1+q+q^2)} = 3$Так как $|q| < 1$, то $q \neq 1$, и мы можем сократить дробь на $(1-q)$:$\frac{b_1(1+q)}{1+q+q^2} = 3$

2. Отношение суммы всех членов к сумме квадратов всех членов равно $\frac{3}{7}$:$\frac{S}{S_2} = \frac{\frac{b_1}{1-q}}{\frac{b_1^2}{1-q^2}} = \frac{3}{7}$Упростим это выражение:$\frac{b_1}{1-q} \cdot \frac{1-q^2}{b_1^2} = \frac{1-q^2}{b_1(1-q)} = \frac{3}{7}$$\frac{(1-q)(1+q)}{b_1(1-q)} = \frac{3}{7}$Сократим дробь на $(1-q)$:$\frac{1+q}{b_1} = \frac{3}{7}$

Мы получили систему двух уравнений с двумя неизвестными $b_1$ и $q$:$\begin{cases} \frac{b_1(1+q)}{1+q+q^2} = 3 \\ \frac{1+q}{b_1} = \frac{3}{7} \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $b_1$:$b_1 = (1+q) \cdot \frac{7}{3} = \frac{7(1+q)}{3}$

Подставим это выражение для $b_1$ в первое уравнение системы:$\frac{\frac{7(1+q)}{3} \cdot (1+q)}{1+q+q^2} = 3$$\frac{7(1+q)^2}{3(1+q+q^2)} = 3$$7(1+q)^2 = 9(1+q+q^2)$$7(1+2q+q^2) = 9+9q+9q^2$$7+14q+7q^2 = 9+9q+9q^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:$(9q^2 - 7q^2) + (9q - 14q) + (9 - 7) = 0$$2q^2 - 5q + 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$Корни уравнения:$q_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$$q_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Согласно условию, прогрессия является бесконечно убывающей, поэтому ее знаменатель должен удовлетворять условию $|q|<1$. Корень $q_1 = 2$ не подходит, так как $|2| > 1$. Корень $q_2 = \frac{1}{2}$ подходит, так как $|\frac{1}{2}| < 1$.Следовательно, знаменатель прогрессии $q = \frac{1}{2}$.

Теперь найдем первый член прогрессии $b_1$, подставив значение $q$ в выражение $b_1 = \frac{7(1+q)}{3}$:$b_1 = \frac{7(1+\frac{1}{2})}{3} = \frac{7(\frac{2}{2}+\frac{1}{2})}{3} = \frac{7(\frac{3}{2})}{3} = \frac{21/2}{3} = \frac{21}{2 \cdot 3} = \frac{7}{2}$

Итак, первый член прогрессии равен $\frac{7}{2}$, а знаменатель равен $\frac{1}{2}$.

Ответ: первый член $b_1 = \frac{7}{2}$, знаменатель $q = \frac{1}{2}$.