Номер 433, страница 148 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

433. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, сумма которой равна $\frac{16}{3}$, содержит член, равный $\frac{1}{6}$. Отношение суммы всех членов прогрессии, стоящих до него, к сумме всех членов, стоящих после него, равно 30. Определить порядковый номер этого члена прогрессии.

Пусть $b_1$ — первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель, где $|q| < 1$. Сумма всей прогрессии $S$ определяется формулой $S = \frac{b_1}{1-q}$.

По условию задачи, сумма прогрессии равна $\frac{16}{3}$: $$ S = \frac{b_1}{1-q} = \frac{16}{3} $$

Прогрессия содержит член $b_n$, равный $\frac{1}{6}$. Формула n-го члена: $$ b_n = b_1 q^{n-1} = \frac{1}{6} $$

Сумму всей прогрессии можно представить как сумму трех частей:

• Сумма членов, стоящих до $b_n$: $S_{до} = b_1 + b_2 + \dots + b_{n-1}$.
• Сам член $b_n$.
• Сумма членов, стоящих после $b_n$: $S_{после} = b_{n+1} + b_{n+2} + \dots$.

Таким образом, $S = S_{до} + b_n + S_{после}$.

По условию, отношение суммы членов до $b_n$ к сумме членов после него равно 30: $$ \frac{S_{до}}{S_{после}} = 30 \implies S_{до} = 30 \cdot S_{после} $$

Подставим известные значения и соотношения в формулу для полной суммы: $$ S = 30 \cdot S_{после} + b_n + S_{после} $$ $$ \frac{16}{3} = 31 \cdot S_{после} + \frac{1}{6} $$

Найдем $S_{после}$: $$ 31 \cdot S_{после} = \frac{16}{3} - \frac{1}{6} $$ $$ 31 \cdot S_{после} = \frac{32}{6} - \frac{1}{6} = \frac{31}{6} $$ $$ S_{после} = \frac{1}{6} $$

Сумма членов после $b_n$ ($S_{после}$) сама по себе является бесконечно убывающей геометрической прогрессией, первым членом которой является $b_{n+1}$, а знаменатель равен $q$. $$ S_{после} = \frac{b_{n+1}}{1-q} = \frac{b_1 q^n}{1-q} $$ Это выражение можно переписать как: $$ S_{после} = \left(\frac{b_1}{1-q}\right) \cdot q^n = S \cdot q^n $$

Теперь мы можем найти $q^n$, используя известные значения $S$ и $S_{после}$: $$ \frac{1}{6} = \frac{16}{3} \cdot q^n $$ $$ q^n = \frac{1}{6} \cdot \frac{3}{16} = \frac{3}{96} = \frac{1}{32} $$

Теперь найдем знаменатель прогрессии $q$. Для этого разделим выражение для $b_n$ на выражение для $S$: $$ \frac{b_n}{S} = \frac{b_1 q^{n-1}}{b_1 / (1-q)} = q^{n-1}(1-q) $$ Подставим известные значения $b_n$ и $S$: $$ \frac{1/6}{16/3} = \frac{1}{6} \cdot \frac{3}{16} = \frac{3}{96} = \frac{1}{32} $$ Следовательно: $$ q^{n-1}(1-q) = \frac{1}{32} $$ Мы знаем, что $q^n = \frac{1}{32}$, поэтому $q^{n-1} = \frac{q^n}{q} = \frac{1}{32q}$. Подставим это в предыдущее уравнение: $$ \frac{1}{32q}(1-q) = \frac{1}{32} $$ Умножим обе части на $32q$ (мы знаем, что $q \neq 0$): $$ 1-q = q $$ $$ 1 = 2q $$ $$ q = \frac{1}{2} $$

Наконец, найдем порядковый номер $n$. Мы знаем, что $q^n = \frac{1}{32}$ и $q = \frac{1}{2}$: $$ \left(\frac{1}{2}\right)^n = \frac{1}{32} $$ Так как $32 = 2^5$, то $\frac{1}{32} = \left(\frac{1}{2}\right)^5$. $$ \left(\frac{1}{2}\right)^n = \left(\frac{1}{2}\right)^5 $$ Отсюда следует, что $n=5$.

Ответ: 5.