Номер 434, страница 148 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

434. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой сумма квадратов первых $n$ членов равна сумме первых $2n$ членов, а сумма кубов $n$ членов в $3$ раза меньше суммы первых $3n$ членов.

Пусть $b_1$ — первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. По определению, для бесконечно убывающей геометрической прогрессии выполняется условие $|q| < 1$.

Сумма первых $k$ членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:$S_k = \frac{b_1(1-q^k)}{1-q}$.

Анализ первого условия задачи

Первое условие гласит, что сумма квадратов первых $n$ членов равна сумме первых $2n$ членов.

Последовательность квадратов членов исходной прогрессии, $b_1^2, b_2^2, \dots, b_n^2, \dots$, также является геометрической прогрессией. Её первый член равен $B_1 = b_1^2$, а знаменатель равен $Q_2 = q^2$. Сумма первых $n$ членов этой новой прогрессии ($S_{n, \text{кв}}$) равна:$S_{n, \text{кв}} = \frac{B_1(1-Q_2^n)}{1-Q_2} = \frac{b_1^2(1-(q^2)^n)}{1-q^2} = \frac{b_1^2(1-q^{2n})}{1-q^2}$.

Сумма первых $2n$ членов исходной прогрессии равна:$S_{2n} = \frac{b_1(1-q^{2n})}{1-q}$.

Приравниваем эти два выражения согласно условию:$\frac{b_1^2(1-q^{2n})}{1-q^2} = \frac{b_1(1-q^{2n})}{1-q}$.

Так как $b_1 \neq 0$ (иначе прогрессия тривиальна) и $|q| < 1$, то $1-q^{2n} \neq 0$ для любого $n \ge 1$. Мы можем сократить обе части уравнения на $b_1(1-q^{2n})$:$\frac{b_1}{1-q^2} = \frac{1}{1-q}$.

Используя формулу разности квадратов $1-q^2=(1-q)(1+q)$ и сокращая на $(1-q) \neq 0$, получаем первое уравнение, связывающее $b_1$ и $q$:$b_1 = 1+q$.

Анализ второго условия задачи

Второе условие гласит, что сумма кубов $n$ членов в 3 раза меньше суммы первых $3n$ членов. Это эквивалентно тому, что $3 \cdot S_{n, \text{куб}} = S_{3n}$.

Последовательность кубов членов исходной прогрессии, $b_1^3, b_2^3, \dots, b_n^3, \dots$, также является геометрической прогрессией. Её первый член $C_1 = b_1^3$, а знаменатель $Q_3 = q^3$. Сумма первых $n$ членов этой прогрессии ($S_{n, \text{куб}}$) равна:$S_{n, \text{куб}} = \frac{b_1^3(1-q^{3n})}{1-q^3}$.

Сумма первых $3n$ членов исходной прогрессии равна:$S_{3n} = \frac{b_1(1-q^{3n})}{1-q}$.

Запишем равенство из условия:$3 \cdot \frac{b_1^3(1-q^{3n})}{1-q^3} = \frac{b_1(1-q^{3n})}{1-q}$.

Сокращаем обе части на $b_1(1-q^{3n})$:$\frac{3b_1^2}{1-q^3} = \frac{1}{1-q}$.

Используя формулу разности кубов $1-q^3=(1-q)(1+q+q^2)$ и сокращая на $(1-q) \neq 0$, получаем второе уравнение:$3b_1^2 = 1+q+q^2$.

Решение системы уравнений

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $b_1$ и $q$:
1) $b_1 = 1+q$
2) $3b_1^2 = 1+q+q^2$

Подставим выражение для $b_1$ из первого уравнения во второе:$3(1+q)^2 = 1+q+q^2$.

Раскроем скобки и приведём подобные члены:$3(1+2q+q^2) = 1+q+q^2$
$3+6q+3q^2 = 1+q+q^2$
$2q^2+5q+2 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение относительно $q$. Дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$. Корни уравнения:$q = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm 3}{4}$.

Получаем два возможных значения для $q$: $q_1 = \frac{-5-3}{4} = -2$ и $q_2 = \frac{-5+3}{4} = -\frac{1}{2}$.

Поскольку прогрессия является бесконечно убывающей, должно выполняться условие $|q| < 1$. Этому условию удовлетворяет только $q = -1/2$.

Теперь найдём $b_1$ из первого уравнения: $b_1 = 1+q = 1 + (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$.

Нахождение суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Цель задачи — найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, которая вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$.

Подставим найденные значения $b_1 = 1/2$ и $q = -1/2$:$S = \frac{\frac{1}{2}}{1 - (-\frac{1}{2})} = \frac{\frac{1}{2}}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.