Номер 431, страница 147 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

431. Найти первый член и знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если второй её член равен 6, а сумма этой прогрессии в 8 раз меньше суммы квадратов её членов.

Обозначим первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии как $b_1$, а ее знаменатель как $q$. По определению бесконечно убывающей геометрической прогрессии, модуль ее знаменателя должен быть меньше единицы: $|q| < 1$.

Сумма такой прогрессии вычисляется по формуле:$S = \frac{b_1}{1-q}$

Рассмотрим последовательность, составленную из квадратов членов исходной прогрессии: $b_1^2, b_2^2, b_3^2, \dots$. Эта последовательность также является бесконечно убывающей геометрической прогрессией, у которой первый член равен $b_1^2$, а знаменатель равен $q^2$. Так как $|q| < 1$, то и $|q^2| < 1$.Сумма этой новой прогрессии (сумма квадратов членов исходной прогрессии) вычисляется по формуле:$S_{sq} = \frac{b_1^2}{1-q^2}$

По условиям задачи нам даны два факта:

1. Второй член прогрессии равен 6: $b_2 = 6$. Используя формулу n-го члена прогрессии $b_n = b_1 q^{n-1}$, получаем:$b_1 q = 6$

2. Сумма прогрессии в 8 раз меньше суммы квадратов ее членов: $S_{sq} = 8S$. Подставив формулы для сумм, получаем:$\frac{b_1^2}{1-q^2} = 8 \cdot \frac{b_1}{1-q}$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $b_1$ и $q$:$\begin{cases} b_1 q = 6 \\ \frac{b_1^2}{1-q^2} = \frac{8b_1}{1-q} \end{cases}$

Начнем с решения второго уравнения. Так как прогрессия существует и ее второй член не равен нулю, то и первый член $b_1 \neq 0$. Значит, мы можем разделить обе части второго уравнения на $b_1$:$\frac{b_1}{1-q^2} = \frac{8}{1-q}$

Используем формулу разности квадратов в знаменателе левой части: $1-q^2 = (1-q)(1+q)$.$\frac{b_1}{(1-q)(1+q)} = \frac{8}{1-q}$

Так как $|q| < 1$, то $1-q \neq 0$. Мы можем умножить обе части уравнения на $(1-q)$:$\frac{b_1}{1+q} = 8$Отсюда выразим $b_1$:$b_1 = 8(1+q)$

Теперь подставим это выражение для $b_1$ в первое уравнение системы ($b_1 q = 6$):$8(1+q)q = 6$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение относительно $q$:$8q^2 + 8q = 6$$8q^2 + 8q - 6 = 0$Разделим все уравнение на 2 для упрощения:$4q^2 + 4q - 3 = 0$

Найдем дискриминант:$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64$

Найдем корни уравнения:$q = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{-4 \pm 8}{8}$

Получаем два возможных значения для $q$:$q_1 = \frac{-4+8}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$$q_2 = \frac{-4-8}{8} = \frac{-12}{8} = -\frac{3}{2}$

Проверим, какое из значений удовлетворяет условию $|q| < 1$:$|q_1| = |\frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$. Это значение удовлетворяет условию, так как $\frac{1}{2} < 1$.$|q_2| = |-\frac{3}{2}| = \frac{3}{2}$. Это значение не удовлетворяет условию, так как $\frac{3}{2} > 1$.Следовательно, знаменатель прогрессии $q = \frac{1}{2}$.

Теперь найдем первый член прогрессии $b_1$, используя первое уравнение системы $b_1 q = 6$:$b_1 \cdot \frac{1}{2} = 6$$b_1 = 6 \cdot 2 = 12$

Таким образом, мы нашли искомые величины.

Ответ: первый член прогрессии равен 12, а знаменатель равен $\frac{1}{2}$.