Номер 430, страница 147 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

430. В угол, равный $60^\circ$, последовательно вписаны окружности, касающиеся друг друга (рис. 55). Радиус первой окружности равен $R_1$. Найти радиусы $R_2, R_3, ..., R_n$, ... остальных окружностей и показать, что они образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию. Доказать, что сумма $R_1 + 2(R_2 + R_3 + ... + R_n + ...)$ равна расстоянию от центра первой окружности до вершины угла.

Рис. 55

Найти радиусы R₂, R₃, ..., Rₙ, ... остальных окружностей и показать, что они образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию.

Пусть $O$ — вершина угла, равного $60^\circ$. Центры всех вписанных окружностей лежат на биссектрисе этого угла. Биссектриса делит угол $60^\circ$ на два угла по $30^\circ$.

Рассмотрим $n$-ую окружность с центром $C_n$ и радиусом $R_n$. Опустим перпендикуляр из центра $C_n$ на одну из сторон угла. Длина этого перпендикуляра равна радиусу $R_n$. Получим прямоугольный треугольник с гипотенузой $OC_n$ (расстояние от вершины угла до центра окружности) и катетом $R_n$, противолежащим углу в $30^\circ$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем:
$\sin(30^\circ) = \frac{R_n}{OC_n}$

Так как $\sin(30^\circ) = 1/2$, то расстояние от вершины угла до центра $n$-ой окружности равно:
$OC_n = \frac{R_n}{\sin(30^\circ)} = 2R_n$

Теперь рассмотрим две соседние окружности: $n$-ую и $(n+1)$-ую с радиусами $R_n$ и $R_{n+1}$ соответственно. Они касаются друг друга, поэтому расстояние между их центрами равно сумме их радиусов: $C_nC_{n+1} = R_n + R_{n+1}$.

С другой стороны, так как центры $C_n$ и $C_{n+1}$ лежат на одной прямой (биссектрисе), расстояние между ними можно выразить как разность расстояний от вершины угла $O$:
$C_nC_{n+1} = OC_n - OC_{n+1}$

Приравнивая два выражения для $C_nC_{n+1}$, получаем:
$R_n + R_{n+1} = OC_n - OC_{n+1}$

Подставим ранее найденные выражения для $OC_n$ и $OC_{n+1}$:
$R_n + R_{n+1} = 2R_n - 2R_{n+1}$

Перегруппируем члены, чтобы выразить $R_{n+1}$ через $R_n$:
$3R_{n+1} = R_n$
$R_{n+1} = \frac{1}{3}R_n$

Это соотношение показывает, что последовательность радиусов $R_1, R_2, R_3, ..., R_n, ...$ является геометрической прогрессией. Знаменатель этой прогрессии $q = 1/3$.
Поскольку $|q| = 1/3 < 1$, эта прогрессия является бесконечно убывающей.

Ответ: Радиусы окружностей образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем $q=1/3$. Каждый следующий радиус в 3 раза меньше предыдущего: $R_2 = \frac{R_1}{3}$, $R_3 = \frac{R_2}{3} = \frac{R_1}{9}$, и в общем виде $R_n = R_1 \cdot (\frac{1}{3})^{n-1}$.

Доказать, что сумма R₁ + 2(R₂ + R₃ + ... + Rₙ + ...) равна расстоянию от центра первой окружности до вершины угла.

Нам нужно доказать, что $R_1 + 2(R_2 + R_3 + \dots) = OC_1$.

Из первой части решения мы знаем, что расстояние от центра первой окружности до вершины угла равно $OC_1 = 2R_1$.

Рассмотрим сумму в скобках: $S_{geom} = R_2 + R_3 + \dots$. Это сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой первый член $b_1 = R_2$, а знаменатель $q = 1/3$.

Используем формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии $S = \frac{b_1}{1-q}$:
$S_{geom} = \frac{R_2}{1 - 1/3} = \frac{R_2}{2/3} = \frac{3}{2}R_2$

Из первой части мы также знаем, что $R_2 = \frac{1}{3}R_1$. Подставим это в выражение для суммы:
$S_{geom} = \frac{3}{2} \cdot \left(\frac{1}{3}R_1\right) = \frac{1}{2}R_1$

Теперь подставим найденное значение суммы в исходное выражение:
$R_1 + 2(R_2 + R_3 + \dots) = R_1 + 2 \cdot S_{geom} = R_1 + 2 \cdot \left(\frac{1}{2}R_1\right) = R_1 + R_1 = 2R_1$

Таким образом, мы получили, что искомая сумма равна $2R_1$. Расстояние от центра первой окружности до вершины угла, как мы выяснили ранее, также равно $OC_1 = 2R_1$.

Следовательно, $R_1 + 2(R_2 + R_3 + \dots) = OC_1$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство приведено выше.