Номер 424, страница 146 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

424. Записать бесконечную периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной дроби:

1) $0.\overline{5};$

2) $0.\overline{8};$

3) $0.\overline{32};$

4) $0.2\overline{5}.$

1) 0,(5)
Это чистая периодическая дробь, то есть дробь, у которой период начинается сразу после запятой. Чтобы преобразовать такую дробь в обыкновенную, нужно:
1. В числитель дроби поставить число, стоящее в периоде.
2. В знаменатель дроби поставить число, состоящее из такого количества девяток, сколько цифр в периоде.
В данном случае в периоде одна цифра — 5. Значит, числитель будет 5, а знаменатель — 9.
Получаем: $0,(5) = \frac{5}{9}$.

Алгебраическое решение:
Пусть $x = 0,(5) = 0,555...$
Умножим обе части уравнения на 10 (так как в периоде одна цифра):
$10x = 5,555...$
Теперь вычтем из второго уравнения первое:
$10x - x = 5,555... - 0,555...$
$9x = 5$
$x = \frac{5}{9}$

Ответ: $\frac{5}{9}$

2) 0,(8)
Это также чистая периодическая дробь. Применяем то же правило, что и в пункте 1.
В периоде одна цифра — 8.
Числитель — 8, знаменатель — 9.
Получаем: $0,(8) = \frac{8}{9}$.

Алгебраическое решение:
Пусть $x = 0,(8) = 0,888...$
Умножим на 10:
$10x = 8,888...$
Вычтем исходное уравнение:
$10x - x = 8,888... - 0,888...$
$9x = 8$
$x = \frac{8}{9}$

Ответ: $\frac{8}{9}$

3) 0,(32)
Это чистая периодическая дробь, но в периоде уже две цифры — 32.
Согласно правилу, числитель будет равен 32, а знаменатель будет состоять из двух девяток, то есть 99.
Получаем: $0,(32) = \frac{32}{99}$.

Алгебраическое решение:
Пусть $x = 0,(32) = 0,323232...$
Умножим обе части уравнения на 100 (так как в периоде две цифры):
$100x = 32,323232...$
Вычтем исходное уравнение:
$100x - x = 32,323232... - 0,323232...$
$99x = 32$
$x = \frac{32}{99}$

Ответ: $\frac{32}{99}$

4) 0,2(5)
Это смешанная периодическая дробь, так как между запятой и периодом есть цифра (2), не входящая в период. Чтобы преобразовать такую дробь в обыкновенную, нужно:
1. В числитель записать разность между числом, стоящим после запятой (включая первый период), и числом, стоящим после запятой до периода.
2. В знаменатель записать число, состоящее из девяток (их количество равно числу цифр в периоде) и нулей (их количество равно числу цифр между запятой и периодом).
В нашем случае:
Число после запятой, включая первый период — 25.
Число после запятой до периода — 2.
Числитель: $25 - 2 = 23$.
В периоде одна цифра (5), значит, в знаменателе будет одна девятка. Между запятой и периодом одна цифра (2), значит, будет один ноль. Знаменатель — 90.
Получаем: $0,2(5) = \frac{23}{90}$.

Алгебраическое решение:
Пусть $x = 0,2(5) = 0,2555...$
Умножим на 10, чтобы "изолировать" непериодическую часть:
$10x = 2,555...$
Теперь умножим исходное уравнение на 100, чтобы сдвинуть запятую за первый период:
$100x = 25,555...$
Вычтем первое полученное уравнение из второго:
$100x - 10x = 25,555... - 2,555...$
$90x = 23$
$x = \frac{23}{90}$

Ответ: $\frac{23}{90}$