Номер 422, страница 146 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

422. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если:

1) $q = -\frac{1}{2}$, $b_1 = \frac{1}{8}$;

2) $q = \frac{1}{3}$, $b_5 = \frac{1}{81}$;

3) $q = -\frac{1}{3}$, $b_1 = 9$;

4) $q = -\frac{1}{2}$, $b_4 = \frac{1}{8}$.

1) Для нахождения суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии используется формула $S = \frac{b_1}{1-q}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель. В данном случае дано $q = -\frac{1}{2}$ и $b_1 = \frac{1}{8}$. Подставляем значения в формулу:
$S = \frac{\frac{1}{8}}{1 - (-\frac{1}{2})} = \frac{\frac{1}{8}}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{8}}{\frac{3}{2}} = \frac{1}{8} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{24} = \frac{1}{12}$.
Ответ: $\frac{1}{12}$.

2) Даны знаменатель $q = \frac{1}{3}$ и пятый член $b_5 = \frac{1}{81}$. Для вычисления суммы нам нужен первый член прогрессии $b_1$. Найдем его, используя формулу n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$:
$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 \cdot q^4$.
Подставляем известные значения: $\frac{1}{81} = b_1 \cdot (\frac{1}{3})^4$.
$\frac{1}{81} = b_1 \cdot \frac{1}{81}$, откуда следует, что $b_1 = 1$.
Теперь, зная $b_1=1$, находим сумму по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$:
$S = \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}$.
Ответ: $\frac{3}{2}$.

3) Даны знаменатель $q = -\frac{1}{3}$ и первый член $b_1 = 9$. Используем формулу суммы $S = \frac{b_1}{1-q}$ и подставляем значения:
$S = \frac{9}{1 - (-\frac{1}{3})} = \frac{9}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{9}{\frac{4}{3}} = 9 \cdot \frac{3}{4} = \frac{27}{4}$.
Ответ: $\frac{27}{4}$.

4) Даны знаменатель $q = -\frac{1}{2}$ и четвертый член $b_4 = \frac{1}{8}$. Сначала определим первый член прогрессии $b_1$ по формуле $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$:
$b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3$.
Подставляем известные значения: $\frac{1}{8} = b_1 \cdot (-\frac{1}{2})^3$.
$\frac{1}{8} = b_1 \cdot (-\frac{1}{8})$, откуда находим $b_1 = -1$.
Теперь, зная $b_1=-1$, находим сумму по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$:
$S = \frac{-1}{1 - (-\frac{1}{2})} = \frac{-1}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{-1}{\frac{3}{2}} = -\frac{2}{3}$.
Ответ: $-\frac{2}{3}$.