Номер 428, страница 146 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

428. Вычислить:

1) $\lim_{n \to \infty} \frac{3 - 2^n}{2^n};$

2) $\lim_{n \to \infty} \frac{3^{n+2} + 2}{3^n};$

3) $\lim_{n \to \infty} \frac{(5^n + 1)^2}{5^{2n}}.$

1) Вычислим предел $ \lim_{n \to \infty} \frac{3 - 2^n}{2^n} $.

При $ n \to \infty $, числитель $ 3 - 2^n $ стремится к $ -\infty $, а знаменатель $ 2^n $ стремится к $ +\infty $. Мы имеем дело с неопределенностью вида $ \frac{\infty}{\infty} $. Чтобы раскрыть ее, разделим почленно числитель на знаменатель:

$ \lim_{n \to \infty} \frac{3 - 2^n}{2^n} = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{3}{2^n} - \frac{2^n}{2^n}\right) = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{3}{2^n} - 1\right) $

Теперь воспользуемся свойством предела разности, которое гласит, что предел разности равен разности пределов:

$ \lim_{n \to \infty} \frac{3}{2^n} - \lim_{n \to \infty} 1 $

Поскольку $ 2^n \to \infty $ при $ n \to \infty $, то предел дроби $ \frac{3}{2^n} $ равен 0. Предел константы равен самой константе. Таким образом, получаем:

$ 0 - 1 = -1 $

Ответ: -1

2) Вычислим предел $ \lim_{n \to \infty} \frac{3^{n+2} + 2}{3^n} $.

Здесь также имеется неопределенность вида $ \frac{\infty}{\infty} $. Сначала упростим выражение в числителе, используя свойство степеней $ a^{m+k} = a^m \cdot a^k $:

$ 3^{n+2} = 3^n \cdot 3^2 = 9 \cdot 3^n $

Подставим это обратно в предел:

$ \lim_{n \to \infty} \frac{9 \cdot 3^n + 2}{3^n} $

Теперь разделим числитель на знаменатель почленно:

$ \lim_{n \to \infty} \left(\frac{9 \cdot 3^n}{3^n} + \frac{2}{3^n}\right) = \lim_{n \to \infty} \left(9 + \frac{2}{3^n}\right) $

Используя свойство предела суммы:

$ \lim_{n \to \infty} 9 + \lim_{n \to \infty} \frac{2}{3^n} $

При $ n \to \infty $, выражение $ 3^n $ стремится к бесконечности, следовательно, $ \frac{2}{3^n} $ стремится к 0. Предел константы равен самой константе.

$ 9 + 0 = 9 $

Ответ: 9

3) Вычислим предел $ \lim_{n \to \infty} \frac{(5^n + 1)^2}{5^{2n}} $.

В данном случае мы также имеем неопределенность $ \frac{\infty}{\infty} $. Раскроем квадрат в числителе по формуле квадрата суммы $ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $:

$ (5^n + 1)^2 = (5^n)^2 + 2 \cdot 5^n \cdot 1 + 1^2 = 5^{2n} + 2 \cdot 5^n + 1 $

Теперь подставим полученное выражение в предел:

$ \lim_{n \to \infty} \frac{5^{2n} + 2 \cdot 5^n + 1}{5^{2n}} $

Разделим каждый член числителя на знаменатель $ 5^{2n} $:

$ \lim_{n \to \infty} \left(\frac{5^{2n}}{5^{2n}} + \frac{2 \cdot 5^n}{5^{2n}} + \frac{1}{5^{2n}}\right) = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{2}{5^n} + \frac{1}{5^{2n}}\right) $

Воспользуемся свойством предела суммы. При $ n \to \infty $, оба выражения $ \frac{2}{5^n} $ и $ \frac{1}{5^{2n}} $ стремятся к 0.

$ \lim_{n \to \infty} 1 + \lim_{n \to \infty} \frac{2}{5^n} + \lim_{n \to \infty} \frac{1}{5^{2n}} = 1 + 0 + 0 = 1 $

Ответ: 1