Страница 146 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

417. Выяснить, является ли геометрической прогрессией последовательность, заданная формулой n-го члена:

1) $b_n = -5^{2n}$;

2) $b_n = 2^{3n}$.

1) Чтобы определить, является ли последовательность, заданная формулой $b_n = -5^{2n}$, геометрической прогрессией, необходимо проверить, является ли отношение последующего члена к предыдущему, то есть $q = \frac{b_{n+1}}{b_n}$, постоянной величиной, не зависящей от $n$.
Сначала найдем $(n+1)$-й член последовательности, подставив в формулу $(n+1)$ вместо $n$:
$b_{n+1} = -5^{2(n+1)} = -5^{2n+2}$.
Теперь найдем отношение $\frac{b_{n+1}}{b_n}$:
$q = \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{-5^{2n+2}}{-5^{2n}}$.
Упростим выражение, используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$:
$q = \frac{5^{2n+2}}{5^{2n}} = 5^{(2n+2) - 2n} = 5^2 = 25$.
Поскольку отношение $q$ является постоянным числом ($q=25$) и не зависит от $n$, данная последовательность является геометрической прогрессией.
Ответ: да, последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q=25$.

2) Аналогично проверим последовательность, заданную формулой $b_n = 2^{3n}$.
Найдем $(n+1)$-й член последовательности:
$b_{n+1} = 2^{3(n+1)} = 2^{3n+3}$.
Найдем отношение $\frac{b_{n+1}}{b_n}$:
$q = \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{2^{3n+3}}{2^{3n}}$.
Упростим выражение, используя свойство степеней:
$q = 2^{(3n+3) - 3n} = 2^3 = 8$.
Так как отношение $q$ является постоянным числом ($q=8$) и не зависит от $n$, данная последовательность является геометрической прогрессией.
Ответ: да, последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q=8$.

418. Найти сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, если:

1) $b_4 = 88, q = 2;$

2) $b_1 = 11, b_4 = 88.$

Для решения задачи нам понадобятся две основные формулы для геометрической прогрессии:

• Формула n-го члена: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ – первый член, $q$ – знаменатель прогрессии.
• Формула суммы первых n членов: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.

В обоих случаях нам нужно найти сумму первых пяти членов, то есть $S_5$.

Дано: $b_4 = 88$, $q = 2$.

Чтобы найти сумму $S_5$, нам нужно знать первый член прогрессии $b_1$ и знаменатель $q$. Знаменатель нам известен, найдем $b_1$.

Используем формулу n-го члена для $n=4$:

$b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3$

Подставим известные значения в формулу:

$88 = b_1 \cdot 2^3$

$88 = b_1 \cdot 8$

Отсюда выразим и вычислим $b_1$:

$b_1 = \frac{88}{8} = 11$

Теперь у нас есть все необходимое для нахождения суммы первых пяти членов ($b_1 = 11, q = 2, n=5$):

$S_5 = \frac{b_1(q^5 - 1)}{q - 1} = \frac{11(2^5 - 1)}{2 - 1}$

$S_5 = \frac{11(32 - 1)}{1} = 11 \cdot 31 = 341$

Ответ: 341

Дано: $b_1 = 11$, $b_4 = 88$.

Чтобы найти сумму $S_5$, нам нужно знать первый член прогрессии $b_1$ и знаменатель $q$. Первый член нам известен, найдем $q$.

Используем формулу n-го члена для $n=4$:

$b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3$

Подставим известные значения в формулу:

$88 = 11 \cdot q^3$

Отсюда выразим и вычислим $q^3$:

$q^3 = \frac{88}{11} = 8$

Найдем $q$, извлекая кубический корень:

$q = \sqrt[3]{8} = 2$

Теперь у нас есть все необходимое для нахождения суммы первых пяти членов ($b_1 = 11, q = 2, n=5$):

$S_5 = \frac{b_1(q^5 - 1)}{q - 1} = \frac{11(2^5 - 1)}{2 - 1}$

$S_5 = \frac{11(32 - 1)}{1} = 11 \cdot 31 = 341$

Ответ: 341

419. Доказать, что геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей:

1) $1, \frac{1}{5}, \frac{1}{25}, ...;$

2) $\frac{1}{3}, \frac{1}{9}, \frac{1}{27}, ...;$

3) $-27, -9, -3, ...;$

4) $-64, -32, -16, ...$.

Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль ее знаменателя $q$ меньше единицы, то есть $|q| < 1$. Для того чтобы доказать, что данные прогрессии являются бесконечно убывающими, для каждой из них нужно найти знаменатель $q$ и показать, что его модуль меньше 1.

Знаменатель геометрической прогрессии $q$ находится путем деления любого ее члена на предыдущий: $q = \frac{b_{n+1}}{b_n}$.

Найдем знаменатель данной прогрессии, разделив второй член на первый:$q = \frac{1/5}{1} = \frac{1}{5}$.Теперь найдем модуль знаменателя:$|q| = |\frac{1}{5}| = \frac{1}{5}$.Поскольку $\frac{1}{5} < 1$, условие $|q| < 1$ выполняется, следовательно, прогрессия является бесконечно убывающей.
Ответ: Прогрессия является бесконечно убывающей, так как ее знаменатель $q = \frac{1}{5}$ и $|q|<1$.

Найдем знаменатель данной прогрессии:$q = \frac{1/9}{1/3} = \frac{1}{9} \cdot 3 = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.Найдем модуль знаменателя:$|q| = |\frac{1}{3}| = \frac{1}{3}$.Поскольку $\frac{1}{3} < 1$, условие $|q| < 1$ выполняется, следовательно, прогрессия является бесконечно убывающей.
Ответ: Прогрессия является бесконечно убывающей, так как ее знаменатель $q = \frac{1}{3}$ и $|q|<1$.

Найдем знаменатель данной прогрессии:$q = \frac{-9}{-27} = \frac{1}{3}$.Найдем модуль знаменателя:$|q| = |\frac{1}{3}| = \frac{1}{3}$.Поскольку $\frac{1}{3} < 1$, условие $|q| < 1$ выполняется, следовательно, прогрессия является бесконечно убывающей.
Ответ: Прогрессия является бесконечно убывающей, так как ее знаменатель $q = \frac{1}{3}$ и $|q|<1$.

Найдем знаменатель данной прогрессии:$q = \frac{-32}{-64} = \frac{1}{2}$.Найдем модуль знаменателя:$|q| = |\frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$.Поскольку $\frac{1}{2} < 1$, условие $|q| < 1$ выполняется, следовательно, прогрессия является бесконечно убывающей.
Ответ: Прогрессия является бесконечно убывающей, так как ее знаменатель $q = \frac{1}{2}$ и $|q|<1$.

420. Выяснить, является ли геометрическая прогрессия бесконечно убывающей, если:

1) $b_1 = 40, b_9 = -20;$

2) $b_7 = 12, b_{11} = \frac{3}{4};$

3) $b_7 = -30, b_6 = 15;$

4) $b_5 = 9, b_{10} = -\frac{1}{27}.$

Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если ее знаменатель $q$ по модулю меньше единицы, то есть $|q| < 1$. Чтобы ответить на вопрос, необходимо найти знаменатель прогрессии $q$ для каждого случая и проверить это условие.

Общая формула для $n$-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Из нее следует, что $b_m = b_n \cdot q^{m-n}$.

1) Дано: $b_1 = 40$, $b_9 = -20$.

Воспользуемся формулой $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ для $n=9$:

$b_9 = b_1 \cdot q^{9-1}$

$-20 = 40 \cdot q^8$

Разделим обе части уравнения на 40:

$q^8 = \frac{-20}{40} = -\frac{1}{2}$

В области действительных чисел это уравнение не имеет решений, так как четная степень ($8$) любого действительного числа не может быть отрицательной. Это означает, что не существует геометрической прогрессии с действительными членами, удовлетворяющей заданным условиям. Следовательно, она не может быть бесконечно убывающей.

Ответ: нет, не является.

2) Дано: $b_7 = 12$, $b_{11} = \frac{3}{4}$.

Воспользуемся формулой $b_m = b_n \cdot q^{m-n}$ для $m=11$ и $n=7$:

$b_{11} = b_7 \cdot q^{11-7}$

$\frac{3}{4} = 12 \cdot q^4$

Разделим обе части на 12:

$q^4 = \frac{3}{4 \cdot 12} = \frac{3}{48} = \frac{1}{16}$

Из этого уравнения следует, что $q = \frac{1}{2}$ или $q = -\frac{1}{2}$. В обоих случаях модуль знаменателя равен:

$|q| = \left|\pm\frac{1}{2}\right| = \frac{1}{2}$

Так как $|q| = \frac{1}{2} < 1$, данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей.

Ответ: да, является.

3) Дано: $b_7 = -30$, $b_6 = 15$.

Знаменатель $q$ можно найти как отношение последующего члена к предыдущему:

$q = \frac{b_7}{b_6}$

$q = \frac{-30}{15} = -2$

Проверим условие для бесконечно убывающей прогрессии:

$|q| = |-2| = 2$

Так как $|q| = 2 > 1$, данная прогрессия не является бесконечно убывающей.

Ответ: нет, не является.

4) Дано: $b_5 = 9$, $b_{10} = -\frac{1}{27}$.

Воспользуемся формулой $b_m = b_n \cdot q^{m-n}$ для $m=10$ и $n=5$:

$b_{10} = b_5 \cdot q^{10-5}$

$-\frac{1}{27} = 9 \cdot q^5$

Разделим обе части на 9:

$q^5 = \frac{-1}{27 \cdot 9} = -\frac{1}{243}$

Поскольку $243 = 3^5$, мы можем переписать уравнение как:

$q^5 = \left(-\frac{1}{3}\right)^5$

Отсюда находим знаменатель: $q = -\frac{1}{3}$.

Проверим условие для бесконечно убывающей прогрессии:

$|q| = \left|-\frac{1}{3}\right| = \frac{1}{3}$

Так как $|q| = \frac{1}{3} < 1$, данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей.

Ответ: да, является.

421. Вычислить:

1) $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{10^{n+1}}$;

2) $\lim_{n \to \infty} (0,7)^n$.

1) Вычислим предел $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{10^{n+1}}$.

Рассмотрим поведение знаменателя дроби, когда $n$ стремится к бесконечности. При $n \to \infty$, показатель степени $n+1$ также стремится к бесконечности ($n+1 \to \infty$).

Поскольку основание степени $10$ больше единицы, то при неограниченном росте показателя степени значение выражения $10^{n+1}$ также неограниченно возрастает, то есть стремится к бесконечности:

$\lim_{n \to \infty} 10^{n+1} = \infty$.

Таким образом, мы имеем предел от дроби, у которой числитель — постоянное число 1, а знаменатель стремится к бесконечности. Такой предел равен нулю.

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{10^{n+1}} = 0$.

Ответ: 0

2) Вычислим предел $\lim_{n \to \infty} (0,7)^n$.

Данное выражение представляет собой предел геометрической последовательности с основанием (знаменателем) $q = 0,7$.

Существует общее правило для вычисления предела вида $\lim_{n \to \infty} q^n$:

Если модуль основания $|q| < 1$, то предел равен нулю.

В нашем случае $q = 0,7$, и его модуль $|0,7| = 0,7$. Так как $0,7 < 1$, то условие выполняется.

Следовательно, искомый предел равен нулю:

$\lim_{n \to \infty} (0,7)^n = 0$.

Ответ: 0

422. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если:

1) $q = -\frac{1}{2}$, $b_1 = \frac{1}{8}$;

2) $q = \frac{1}{3}$, $b_5 = \frac{1}{81}$;

3) $q = -\frac{1}{3}$, $b_1 = 9$;

4) $q = -\frac{1}{2}$, $b_4 = \frac{1}{8}$.

1) Для нахождения суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии используется формула $S = \frac{b_1}{1-q}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель. В данном случае дано $q = -\frac{1}{2}$ и $b_1 = \frac{1}{8}$. Подставляем значения в формулу:
$S = \frac{\frac{1}{8}}{1 - (-\frac{1}{2})} = \frac{\frac{1}{8}}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{8}}{\frac{3}{2}} = \frac{1}{8} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{24} = \frac{1}{12}$.
Ответ: $\frac{1}{12}$.

2) Даны знаменатель $q = \frac{1}{3}$ и пятый член $b_5 = \frac{1}{81}$. Для вычисления суммы нам нужен первый член прогрессии $b_1$. Найдем его, используя формулу n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$:
$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 \cdot q^4$.
Подставляем известные значения: $\frac{1}{81} = b_1 \cdot (\frac{1}{3})^4$.
$\frac{1}{81} = b_1 \cdot \frac{1}{81}$, откуда следует, что $b_1 = 1$.
Теперь, зная $b_1=1$, находим сумму по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$:
$S = \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}$.
Ответ: $\frac{3}{2}$.

3) Даны знаменатель $q = -\frac{1}{3}$ и первый член $b_1 = 9$. Используем формулу суммы $S = \frac{b_1}{1-q}$ и подставляем значения:
$S = \frac{9}{1 - (-\frac{1}{3})} = \frac{9}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{9}{\frac{4}{3}} = 9 \cdot \frac{3}{4} = \frac{27}{4}$.
Ответ: $\frac{27}{4}$.

4) Даны знаменатель $q = -\frac{1}{2}$ и четвертый член $b_4 = \frac{1}{8}$. Сначала определим первый член прогрессии $b_1$ по формуле $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$:
$b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3$.
Подставляем известные значения: $\frac{1}{8} = b_1 \cdot (-\frac{1}{2})^3$.
$\frac{1}{8} = b_1 \cdot (-\frac{1}{8})$, откуда находим $b_1 = -1$.
Теперь, зная $b_1=-1$, находим сумму по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$:
$S = \frac{-1}{1 - (-\frac{1}{2})} = \frac{-1}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{-1}{\frac{3}{2}} = -\frac{2}{3}$.
Ответ: $-\frac{2}{3}$.

423. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

1) $6, 1, \frac{1}{6}, \dots$;

2) $-25, -5, -1, \dots$.

1) Дана геометрическая прогрессия $6, 1, \frac{1}{6}, \dots$

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии находится по формуле: $S = \frac{b_1}{1 - q}$, где $b_1$ — это первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Формула применима, если модуль знаменателя меньше единицы, то есть $|q| < 1$.

В данной последовательности первый член $b_1 = 6$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$, разделив второй член на первый:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1}{6}$

Проверим, выполняется ли условие $|q| < 1$:

$|q| = |\frac{1}{6}| = \frac{1}{6}$. Так как $\frac{1}{6} < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей, и мы можем найти её сумму.

Подставляем значения $b_1$ и $q$ в формулу:

$S = \frac{6}{1 - \frac{1}{6}} = \frac{6}{\frac{6}{6} - \frac{1}{6}} = \frac{6}{\frac{5}{6}} = 6 \cdot \frac{6}{5} = \frac{36}{5} = 7.2$

Ответ: $7.2$

2) Дана геометрическая прогрессия $-25, -5, -1, \dots$

Используем ту же формулу для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: $S = \frac{b_1}{1 - q}$, при условии $|q| < 1$.

Первый член этой прогрессии $b_1 = -25$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-5}{-25} = \frac{1}{5}$

Проверим условие $|q| < 1$:

$|q| = |\frac{1}{5}| = \frac{1}{5}$. Условие $\frac{1}{5} < 1$ выполняется, следовательно, сумма существует.

Вычислим сумму, подставив $b_1$ и $q$ в формулу:

$S = \frac{-25}{1 - \frac{1}{5}} = \frac{-25}{\frac{5}{5} - \frac{1}{5}} = \frac{-25}{\frac{4}{5}} = -25 \cdot \frac{5}{4} = -\frac{125}{4} = -31.25$

Ответ: $-31.25$

424. Записать бесконечную периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной дроби:

1) $0.\overline{5};$

2) $0.\overline{8};$

3) $0.\overline{32};$

4) $0.2\overline{5}.$

1) 0,(5)
Это чистая периодическая дробь, то есть дробь, у которой период начинается сразу после запятой. Чтобы преобразовать такую дробь в обыкновенную, нужно:
1. В числитель дроби поставить число, стоящее в периоде.
2. В знаменатель дроби поставить число, состоящее из такого количества девяток, сколько цифр в периоде.
В данном случае в периоде одна цифра — 5. Значит, числитель будет 5, а знаменатель — 9.
Получаем: $0,(5) = \frac{5}{9}$.

Алгебраическое решение:
Пусть $x = 0,(5) = 0,555...$
Умножим обе части уравнения на 10 (так как в периоде одна цифра):
$10x = 5,555...$
Теперь вычтем из второго уравнения первое:
$10x - x = 5,555... - 0,555...$
$9x = 5$
$x = \frac{5}{9}$

Ответ: $\frac{5}{9}$

2) 0,(8)
Это также чистая периодическая дробь. Применяем то же правило, что и в пункте 1.
В периоде одна цифра — 8.
Числитель — 8, знаменатель — 9.
Получаем: $0,(8) = \frac{8}{9}$.

Алгебраическое решение:
Пусть $x = 0,(8) = 0,888...$
Умножим на 10:
$10x = 8,888...$
Вычтем исходное уравнение:
$10x - x = 8,888... - 0,888...$
$9x = 8$
$x = \frac{8}{9}$

Ответ: $\frac{8}{9}$

3) 0,(32)
Это чистая периодическая дробь, но в периоде уже две цифры — 32.
Согласно правилу, числитель будет равен 32, а знаменатель будет состоять из двух девяток, то есть 99.
Получаем: $0,(32) = \frac{32}{99}$.

Алгебраическое решение:
Пусть $x = 0,(32) = 0,323232...$
Умножим обе части уравнения на 100 (так как в периоде две цифры):
$100x = 32,323232...$
Вычтем исходное уравнение:
$100x - x = 32,323232... - 0,323232...$
$99x = 32$
$x = \frac{32}{99}$

Ответ: $\frac{32}{99}$

4) 0,2(5)
Это смешанная периодическая дробь, так как между запятой и периодом есть цифра (2), не входящая в период. Чтобы преобразовать такую дробь в обыкновенную, нужно:
1. В числитель записать разность между числом, стоящим после запятой (включая первый период), и числом, стоящим после запятой до периода.
2. В знаменатель записать число, состоящее из девяток (их количество равно числу цифр в периоде) и нулей (их количество равно числу цифр между запятой и периодом).
В нашем случае:
Число после запятой, включая первый период — 25.
Число после запятой до периода — 2.
Числитель: $25 - 2 = 23$.
В периоде одна цифра (5), значит, в знаменателе будет одна девятка. Между запятой и периодом одна цифра (2), значит, будет один ноль. Знаменатель — 90.
Получаем: $0,2(5) = \frac{23}{90}$.

Алгебраическое решение:
Пусть $x = 0,2(5) = 0,2555...$
Умножим на 10, чтобы "изолировать" непериодическую часть:
$10x = 2,555...$
Теперь умножим исходное уравнение на 100, чтобы сдвинуть запятую за первый период:
$100x = 25,555...$
Вычтем первое полученное уравнение из второго:
$100x - 10x = 25,555... - 2,555...$
$90x = 23$
$x = \frac{23}{90}$

Ответ: $\frac{23}{90}$

425. Выяснить, является ли последовательность бесконечно убывающей геометрической прогрессией, если она задана формулой n-го члена:

1) $b_n = 3 \cdot (-2)^n$;

2) $b_n = -5 \cdot 4^n$;

3) $b_n = 8 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^{n-1}$;

4) $b_n = 3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}$.

Геометрическая прогрессия $(b_n)$ называется бесконечно убывающей, если модуль ее знаменателя $q$ меньше единицы, то есть $|q| < 1$.

Для каждой последовательности, заданной формулой n-го члена, мы сначала определим, является ли она геометрической прогрессией, найдем ее знаменатель $q$, а затем проверим условие $|q| < 1$.

1) $b_n = 3 \cdot (-2)^n$

Чтобы проверить, является ли последовательность геометрической прогрессией, найдем отношение последующего члена к предыдущему: $q = \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{3 \cdot (-2)^{n+1}}{3 \cdot (-2)^n} = \frac{(-2)^{n+1}}{(-2)^n} = (-2)^{n+1-n} = -2$.

Отношение является постоянным числом, следовательно, последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q = -2$.

Теперь проверим условие для бесконечно убывающей геометрической прогрессии: $|q| = |-2| = 2$.

Так как $2 > 1$, условие $|q| < 1$ не выполняется. Следовательно, данная последовательность не является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

Ответ: нет.

2) $b_n = -5 \cdot 4^n$

Найдем знаменатель прогрессии: $q = \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{-5 \cdot 4^{n+1}}{-5 \cdot 4^n} = \frac{4^{n+1}}{4^n} = 4^{n+1-n} = 4$.

Последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q = 4$.

Проверим условие $|q| < 1$: $|q| = |4| = 4$.

Так как $4 > 1$, условие не выполняется. Следовательно, данная последовательность не является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

Ответ: нет.

3) $b_n = 8 \cdot (-\frac{1}{3})^{n-1}$

Формула n-го члена уже представлена в стандартном виде для геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Из формулы видно, что первый член $b_1 = 8$ и знаменатель $q = -\frac{1}{3}$.

Проверим условие $|q| < 1$: $|q| = |-\frac{1}{3}| = \frac{1}{3}$.

Так как $\frac{1}{3} < 1$, условие выполняется. Следовательно, данная последовательность является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

Ответ: да.

4) $b_n = 3 \cdot (-\frac{1}{2})^{n-1}$

Данная формула также представлена в стандартном виде $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Отсюда, первый член $b_1 = 3$ и знаменатель $q = -\frac{1}{2}$.

Проверим условие $|q| < 1$: $|q| = |-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$.

Так как $\frac{1}{2} < 1$, условие выполняется. Следовательно, данная последовательность является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

Ответ: да.

426. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если:

1) $q = \frac{1}{2}$, $b_5 = \frac{\sqrt{2}}{16}$;

2) $q = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $b_4 = \frac{9}{8}$.

1) Для нахождения суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии $S$ используется формула: $S = \frac{b_1}{1 - q}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Формула применима, если $|q| < 1$. В данном случае $q = \frac{1}{2}$, и так как $|\frac{1}{2}| = \frac{1}{2} < 1$, условие выполняется, и мы можем найти сумму.

Сначала найдем первый член прогрессии $b_1$, используя формулу n-го члена: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Нам дан пятый член прогрессии $b_5 = \frac{\sqrt{2}}{16}$. Подставим известные значения в формулу для $n=5$: $b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 \cdot q^4$ $\frac{\sqrt{2}}{16} = b_1 \cdot (\frac{1}{2})^4$ $\frac{\sqrt{2}}{16} = b_1 \cdot \frac{1}{16}$ Отсюда находим $b_1$: $b_1 = \frac{\sqrt{2}}{16} \cdot 16 = \sqrt{2}$

Теперь, зная $b_1$ и $q$, можем вычислить сумму прогрессии: $S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{\sqrt{2}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\frac{1}{2}} = 2\sqrt{2}$

Ответ: $2\sqrt{2}$

2) Аналогично первому пункту, используем формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии $S = \frac{b_1}{1 - q}$. Проверим условие сходимости для $q = \frac{\sqrt{3}}{2}$: $|q| = |\frac{\sqrt{3}}{2}|$. Так как $\sqrt{3} \approx 1.732$, то $|q| \approx \frac{1.732}{2} = 0.866$. Поскольку $0.866 < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей, и ее сумму можно найти.

Найдем первый член прогрессии $b_1$, используя данные для четвертого члена $b_4 = \frac{9}{8}$. Формула n-го члена: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Для $n=4$: $b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3$ $\frac{9}{8} = b_1 \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2})^3$ $\frac{9}{8} = b_1 \cdot \frac{(\sqrt{3})^3}{2^3} = b_1 \cdot \frac{3\sqrt{3}}{8}$ Выразим $b_1$: $b_1 = \frac{9}{8} \div \frac{3\sqrt{3}}{8} = \frac{9}{8} \cdot \frac{8}{3\sqrt{3}} = \frac{9}{3\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}}$ Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$: $b_1 = \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$

Теперь вычислим сумму прогрессии, зная $b_1 = \sqrt{3}$ и $q = \frac{\sqrt{3}}{2}$: $S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{\sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}} = \frac{2\sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}$ Умножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю выражение $(2 + \sqrt{3})$, чтобы избавиться от иррациональности: $S = \frac{2\sqrt{3}(2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = \frac{2\sqrt{3} \cdot 2 + 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{4\sqrt{3} + 2 \cdot 3}{4 - 3} = \frac{4\sqrt{3} + 6}{1} = 6 + 4\sqrt{3}$

Ответ: $6 + 4\sqrt{3}$

427. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 30. Найти:

1) $b_1$, если $q = \frac{1}{5}$;

2) $q$, если $b_1 = 20$.

Для решения задачи используется формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: $S = \frac{b_1}{1-q}$, где $S$ — сумма прогрессии, $b_1$ — её первый член, а $q$ — её знаменатель ($|q| < 1$). По условию задачи, $S = 30$.

1) $b_1$, если $q = \frac{1}{5}$

Подставим известные значения $S=30$ и $q = \frac{1}{5}$ в формулу суммы:

$30 = \frac{b_1}{1 - \frac{1}{5}}$

Сначала вычислим знаменатель дроби в правой части уравнения:

$1 - \frac{1}{5} = \frac{5}{5} - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$

Теперь уравнение принимает вид:

$30 = \frac{b_1}{\frac{4}{5}}$

Чтобы найти $b_1$, выразим его из уравнения, умножив сумму на знаменатель:

$b_1 = 30 \cdot \frac{4}{5}$

$b_1 = \frac{30 \cdot 4}{5} = 6 \cdot 4 = 24$

Ответ: $b_1 = 24$.

2) $q$, если $b_1 = 20$

Подставим известные значения $S=30$ и $b_1 = 20$ в формулу суммы:

$30 = \frac{20}{1-q}$

Чтобы найти $q$, сначала выразим знаменатель дроби $1-q$:

$1-q = \frac{20}{30}$

Сократим дробь в правой части:

$1-q = \frac{2}{3}$

Теперь выразим $q$:

$q = 1 - \frac{2}{3}$

$q = \frac{3}{3} - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$

Так как $|q| = |\frac{1}{3}| = \frac{1}{3} < 1$, данная прогрессия действительно является бесконечно убывающей.

Ответ: $q = \frac{1}{3}$.

428. Вычислить:

1) $\lim_{n \to \infty} \frac{3 - 2^n}{2^n};$

2) $\lim_{n \to \infty} \frac{3^{n+2} + 2}{3^n};$

3) $\lim_{n \to \infty} \frac{(5^n + 1)^2}{5^{2n}}.$

1) Вычислим предел $ \lim_{n \to \infty} \frac{3 - 2^n}{2^n} $.

При $ n \to \infty $, числитель $ 3 - 2^n $ стремится к $ -\infty $, а знаменатель $ 2^n $ стремится к $ +\infty $. Мы имеем дело с неопределенностью вида $ \frac{\infty}{\infty} $. Чтобы раскрыть ее, разделим почленно числитель на знаменатель:

$ \lim_{n \to \infty} \frac{3 - 2^n}{2^n} = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{3}{2^n} - \frac{2^n}{2^n}\right) = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{3}{2^n} - 1\right) $

Теперь воспользуемся свойством предела разности, которое гласит, что предел разности равен разности пределов:

$ \lim_{n \to \infty} \frac{3}{2^n} - \lim_{n \to \infty} 1 $

Поскольку $ 2^n \to \infty $ при $ n \to \infty $, то предел дроби $ \frac{3}{2^n} $ равен 0. Предел константы равен самой константе. Таким образом, получаем:

$ 0 - 1 = -1 $

Ответ: -1

2) Вычислим предел $ \lim_{n \to \infty} \frac{3^{n+2} + 2}{3^n} $.

Здесь также имеется неопределенность вида $ \frac{\infty}{\infty} $. Сначала упростим выражение в числителе, используя свойство степеней $ a^{m+k} = a^m \cdot a^k $:

$ 3^{n+2} = 3^n \cdot 3^2 = 9 \cdot 3^n $

Подставим это обратно в предел:

$ \lim_{n \to \infty} \frac{9 \cdot 3^n + 2}{3^n} $

Теперь разделим числитель на знаменатель почленно:

$ \lim_{n \to \infty} \left(\frac{9 \cdot 3^n}{3^n} + \frac{2}{3^n}\right) = \lim_{n \to \infty} \left(9 + \frac{2}{3^n}\right) $

Используя свойство предела суммы:

$ \lim_{n \to \infty} 9 + \lim_{n \to \infty} \frac{2}{3^n} $

При $ n \to \infty $, выражение $ 3^n $ стремится к бесконечности, следовательно, $ \frac{2}{3^n} $ стремится к 0. Предел константы равен самой константе.

$ 9 + 0 = 9 $

Ответ: 9

3) Вычислим предел $ \lim_{n \to \infty} \frac{(5^n + 1)^2}{5^{2n}} $.

В данном случае мы также имеем неопределенность $ \frac{\infty}{\infty} $. Раскроем квадрат в числителе по формуле квадрата суммы $ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $:

$ (5^n + 1)^2 = (5^n)^2 + 2 \cdot 5^n \cdot 1 + 1^2 = 5^{2n} + 2 \cdot 5^n + 1 $

Теперь подставим полученное выражение в предел:

$ \lim_{n \to \infty} \frac{5^{2n} + 2 \cdot 5^n + 1}{5^{2n}} $

Разделим каждый член числителя на знаменатель $ 5^{2n} $:

$ \lim_{n \to \infty} \left(\frac{5^{2n}}{5^{2n}} + \frac{2 \cdot 5^n}{5^{2n}} + \frac{1}{5^{2n}}\right) = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{2}{5^n} + \frac{1}{5^{2n}}\right) $

Воспользуемся свойством предела суммы. При $ n \to \infty $, оба выражения $ \frac{2}{5^n} $ и $ \frac{1}{5^{2n}} $ стремятся к 0.

$ \lim_{n \to \infty} 1 + \lim_{n \to \infty} \frac{2}{5^n} + \lim_{n \to \infty} \frac{1}{5^{2n}} = 1 + 0 + 0 = 1 $

Ответ: 1

429. На куб со стороной a поставили куб со стороной $ \frac{a}{2} $, на него — куб со стороной $ \frac{a}{4} $, затем куб со стороной $ \frac{a}{8} $ и т. д. (рис. 54). Найти высоту получившейся фигуры.

Рис. 54

Общая высота фигуры представляет собой сумму высот всех кубов, установленных друг на друга. Высота каждого куба равна длине его стороны. Таким образом, мы имеем дело с суммой бесконечного ряда.

Высоты кубов образуют следующую последовательность: $a, \frac{a}{2}, \frac{a}{4}, \frac{a}{8}, \ldots$

Эта последовательность является бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Определим ее параметры:

Первый член прогрессии $b_1 = a$.

Знаменатель прогрессии $q$ находится как отношение любого члена прогрессии к предыдущему: $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{a/2}{a} = \frac{1}{2}$.

Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии находится по формуле $S = \frac{b_1}{1 - q}$, при условии, что модуль знаменателя меньше единицы, то есть $|q| < 1$.

В нашем случае $|q| = |\frac{1}{2}| = \frac{1}{2} < 1$, следовательно, мы можем применить эту формулу для нахождения общей высоты $H$ фигуры.

Подставим наши значения в формулу:

$H = S = \frac{a}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{a}{\frac{1}{2}} = 2a$.

Ответ: $2a$.