Номер 426, страница 146 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

426. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если:

1) $q = \frac{1}{2}$, $b_5 = \frac{\sqrt{2}}{16}$;

2) $q = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $b_4 = \frac{9}{8}$.

1) Для нахождения суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии $S$ используется формула: $S = \frac{b_1}{1 - q}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Формула применима, если $|q| < 1$. В данном случае $q = \frac{1}{2}$, и так как $|\frac{1}{2}| = \frac{1}{2} < 1$, условие выполняется, и мы можем найти сумму.

Сначала найдем первый член прогрессии $b_1$, используя формулу n-го члена: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Нам дан пятый член прогрессии $b_5 = \frac{\sqrt{2}}{16}$. Подставим известные значения в формулу для $n=5$: $b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 \cdot q^4$ $\frac{\sqrt{2}}{16} = b_1 \cdot (\frac{1}{2})^4$ $\frac{\sqrt{2}}{16} = b_1 \cdot \frac{1}{16}$ Отсюда находим $b_1$: $b_1 = \frac{\sqrt{2}}{16} \cdot 16 = \sqrt{2}$

Теперь, зная $b_1$ и $q$, можем вычислить сумму прогрессии: $S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{\sqrt{2}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\frac{1}{2}} = 2\sqrt{2}$

Ответ: $2\sqrt{2}$

2) Аналогично первому пункту, используем формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии $S = \frac{b_1}{1 - q}$. Проверим условие сходимости для $q = \frac{\sqrt{3}}{2}$: $|q| = |\frac{\sqrt{3}}{2}|$. Так как $\sqrt{3} \approx 1.732$, то $|q| \approx \frac{1.732}{2} = 0.866$. Поскольку $0.866 < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей, и ее сумму можно найти.

Найдем первый член прогрессии $b_1$, используя данные для четвертого члена $b_4 = \frac{9}{8}$. Формула n-го члена: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Для $n=4$: $b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3$ $\frac{9}{8} = b_1 \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2})^3$ $\frac{9}{8} = b_1 \cdot \frac{(\sqrt{3})^3}{2^3} = b_1 \cdot \frac{3\sqrt{3}}{8}$ Выразим $b_1$: $b_1 = \frac{9}{8} \div \frac{3\sqrt{3}}{8} = \frac{9}{8} \cdot \frac{8}{3\sqrt{3}} = \frac{9}{3\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}}$ Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$: $b_1 = \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$

Теперь вычислим сумму прогрессии, зная $b_1 = \sqrt{3}$ и $q = \frac{\sqrt{3}}{2}$: $S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{\sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}} = \frac{2\sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}$ Умножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю выражение $(2 + \sqrt{3})$, чтобы избавиться от иррациональности: $S = \frac{2\sqrt{3}(2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = \frac{2\sqrt{3} \cdot 2 + 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{4\sqrt{3} + 2 \cdot 3}{4 - 3} = \frac{4\sqrt{3} + 6}{1} = 6 + 4\sqrt{3}$

Ответ: $6 + 4\sqrt{3}$